ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ: ТИПЫ, ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СВОЙСТВА, ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2025

В элементарные функции трансцендентные являются степенные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции, гиперболические и обратные гиперболические функции. То есть это те, которые не могут быть выражены с помощью многочлена, частного многочленов или корней многочленов.

Неэлементарные трансцендентные функции также известны как специальные функции, и среди них может быть названа функция ошибок. Алгебраические функции (многочлены, частные от многочленов и корни многочленов) вместе с элементарными трансцендентными функциями составляют то, что в математике известно как элементарные функции.

Трансцендентными функциями также считаются те, которые возникают в результате операций между трансцендентными функциями или между трансцендентными и алгебраическими функциями. Этими операциями являются: сумма и разность функций, произведение и частное функций, а также композиция двух или более функций.

Определение и свойства

Экспоненциальная функция

Это действительная функция действительной независимой переменной вида:

е (х) = а ^ х = а ^х

где a - фиксированное положительное действительное число (a> 0), называемое базой. Циркумфлекс или надстрочный индекс используются для обозначения операции потенцирования.

Допустим, a = 2, тогда функция выглядит так:

е (х) = 2 ^ х = 2 ^х

Что будет оцениваться для нескольких значений независимой переменной x:

Ниже приведен график, на котором экспоненциальная функция представлена ​​для нескольких значений основания, включая основание e (число Непера e 2,72). База e настолько важна, что, вообще говоря, об экспоненциальной функции мы думаем о e ^ x, которое также обозначается как exp (x).

Рис. 1. Экспоненциальная функция a ^ x для различных значений основания a. (Собственная разработка)

Свойства экспоненциальной функции

Из рисунка 1 можно заметить, что область значений экспоненциальных функций - это действительные числа (Dom f = R ), а диапазон или путь - положительные действительные числа (Ran f = R ⁺ ).

С другой стороны, независимо от значения основания a, все экспоненциальные функции проходят через точку (0, 1) и через точку (1, a).

Когда основание a> 1, тогда функция увеличивается, а когда 0 <a <1, функция убывает.

Кривые y = a ^ x и y = (1 / a) ^ x симметричны относительно оси Y.

За исключением случая a = 1, экспоненциальная функция является инъективной, то есть каждому значению изображения соответствует одно и только одно начальное значение.

Логарифмическая функция

Это действительная функция действительной независимой переменной, основанная на определении логарифма числа. Логарифм, основанный на числе x, - это число y, до которого необходимо поднять основание, чтобы получить аргумент x:

журнал _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

То есть функция логарифма на основе является обратной функцией экспоненциальной функции на основе.

Например:

журнал ₂ 1 = 0, так как 2 ^ 0 = 1

Другой случай, log ₂ 4 = 2, потому что 2 ^ 2 = 4

Корневой логарифм 2 равен log ₂ √2 = ½, потому что 2 ^ ½ = √2

log ₂ ¼ = -2, поскольку 2 ^ (- 2) = ¼

Ниже приведен график функции логарифма в различных основаниях.

Рисунок 2. Экспоненциальная функция для разных значений базы. (Собственная разработка)

Свойства функции логарифма

Область определения функции логарифма y (x) = log a (x) - это положительные действительные числа R + . Диапазон перемещения или действительные числа R .

Независимо от основания, функция логарифмирования всегда проходит через точку (1,0), а точка (a, 1) принадлежит графику этой функции.

В случае, когда основание a больше единицы (a> 1), функция логарифма увеличивается. Но если (0 <a <1), то это убывающая функция.

Функции синуса, косинуса и тангенса

Функция синуса присваивает действительное число и каждому значению x, где x представляет собой меру угла в радианах. Чтобы получить значение Sen (x) угла, угол представлен в единичной окружности, а проекция указанного угла на вертикальную ось представляет собой синус, соответствующий этому углу.

Тригонометрический круг и синус для различных угловых значений X1, X2, X3 и X4 показаны ниже (на рисунке 3).

Рис. 3. Тригонометрический круг и синусы разных углов. (Собственная разработка)

Определенное таким образом максимальное значение, которое может иметь функция Sen (x), равно 1, что происходит, когда x = π / 2 + 2π n, где n - целое число (0, ± 1, ± 2,). Минимальное значение, которое может принимать функция Sen (x), происходит, когда x = 3π / 2 + 2π n.

Функция косинуса y = Cos (x) определяется аналогично, но проекция угловых положений P1, P2 и т.д. осуществляется на горизонтальную ось тригонометрической окружности.

С другой стороны, функция y = Tan (x) представляет собой частное между функцией синуса и функцией косинуса.

Ниже представлен график трансцендентных функций Sen (x), Cos (x) и Tan (x).

Рисунок 4. График трансцендентных функций, синуса, косинуса и тангенса. (Собственная разработка)

Производные и интегралы

Производная экспоненциальной функции

Производная y 'экспоненты y = a ^ x - это функция a ^ x, умноженная на натуральный логарифм основания a:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

В частном случае основания e производная экспоненциальной функции является самой экспоненциальной функцией.

Интеграл от экспоненциальной функции

Неопределенный интеграл от a ^ x - это сама функция, деленная на натуральный логарифм основания.

В частном случае с основанием е интеграл экспоненциальной функции является самой экспоненциальной функцией.

Таблица производных и интегралов трансцендентных функций

Ниже представлена ​​сводная таблица основных трансцендентных функций, их производных и неопределенных интегралов (первообразных):

Таблица производных и неопределенных интегралов для некоторых трансцендентных функций. (Собственная разработка)

Примеры

Пример 1

Найдите функцию, полученную в результате композиции функции f (x) = x ^ 3 с функцией g (x) = cos (x):

(туман) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

Его производная и неопределенный интеграл:

Пример 2

Найдите композицию функции g с функцией f, где g и f - функции, определенные в предыдущем примере:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³ )

Следует отметить, что композиция функций не является коммутативной операцией.

Производная и неопределенный интеграл для этой функции соответственно равны:

Интеграл оставлен указанным, потому что невозможно точно записать результат в виде комбинации элементарных функций.

Ссылки

1. Исчисление одной переменной. Рон Ларсон, Брюс Х. Эдвардс. Cengage Learning, 10 ноября 2008
2. Теорема о неявной функции: история, теория и приложения. Стивен Г. Кранц, Гарольд Р. Паркс. Springer Science & Business Media, 9 ноября. 2012
3. Многопараметрический анализ. Сатиш Ширали, Харкришан Лал Васудева. Springer Science & Business Media, 13 декабря. 2010
4. Системная динамика: моделирование, моделирование и управление мехатронными системами. Дин К. Карнопп, Дональд Л. Марголис, Рональд К. Розенберг. John Wiley & Sons, 7 марта 2012
5. Исчисление: математика и моделирование. Уильям Баулдри, Джозеф Р. Фидлер, Фрэнк Р. Джордано, Эд Лоди, Рик Витрей. Эддисон Уэсли Лонгман, 1 января 1999
6. википедия. Трансцендентная функция. Получено с: es.wikipedia.com