Логарифмическая функция представляет собой математическую связь , которая связывает каждый положительное действительное число х с его логарифм у на базовой а. Это отношение отвечает требованиям, чтобы быть функцией: каждый элемент x, принадлежащий домену, имеет уникальное изображение.
Таким образом:
Поскольку логарифм на основе числа x - это число y, до которого необходимо возвести основание a, чтобы получить x.
-Логарифм основания всегда равен 1. Таким образом, график f (x) = log a x всегда пересекает ось x в точке (1,0)
-Логарифмическая функция является трансцендентной и не может быть выражена как полином или как частное от них. В дополнение к логарифму в эту группу входят, среди прочего, тригонометрические функции и экспонента.
Примеры
Логарифмическая функция может быть установлена с помощью различных оснований, но наиболее часто используются 10 и e, где e - число Эйлера, равное 2,71828….
Когда используется основание 10, логарифм называется десятичным логарифмом, обыкновенным логарифмом, логарифмом Бриггса или просто логарифмом.
А если используется число e, то оно называется натуральным логарифмом в честь Джона Напьера, шотландского математика, открывшего логарифмы.
Обозначения, используемые для каждого из них, следующие:
-Десятичный логарифм: log 10 x = log x
-Неперианский логарифм: ln x
Когда вы собираетесь использовать другую основу, совершенно необходимо указать ее как нижний индекс, потому что логарифм каждого числа различается в зависимости от используемой базы. Например, если это логарифмы по основанию 2, напишите:
у = журнал 2 х
Давайте посмотрим на логарифм числа 10 в трех разных основаниях, чтобы проиллюстрировать это:
журнал 10 = 1
ln 10 = 2,30259
журнал 2 10 = 3,32193
Обычные калькуляторы выводят только десятичный логарифм (функция журнала) и натуральный логарифм (функция ln). В Интернете есть калькуляторы с другими базами. В любом случае читатель может с его помощью проверить соответствие предыдущим значениям:
10 1 = 10
е 2.3026 = 10.0001
2 3,32193 = 10,0000
Небольшие десятичные различия связаны с количеством десятичных знаков, взятых при вычислении логарифма.
Преимущества логарифмов
Среди преимуществ использования логарифмов - легкость, которую они обеспечивают для работы с большими числами, используя их логарифм вместо числа напрямую.
Это возможно, потому что функция логарифма растет медленнее по мере увеличения числа, как мы можем видеть на графике.
Таким образом, даже с очень большими числами их логарифмы намного меньше, и манипулировать маленькими числами всегда проще.
Кроме того, логарифмы обладают следующими свойствами:
- Продукт : журнал (ab) = журнал a + журнал b
- Коэффициент : log (a / b) = log a - log b
- Мощность : журнал a b = b.log a
Таким образом, произведения и частные становятся сложением и вычитанием меньших чисел, в то время как расширение возможностей становится простым продуктом, даже несмотря на то, что мощность велика.
Вот почему логарифмы позволяют нам выражать числа, которые варьируются в очень большом диапазоне значений, таких как интенсивность звука, pH раствора, яркость звезд, электрическое сопротивление и интенсивность землетрясений по шкале Рихтера.
Рисунок 2. Логарифмы используются по шкале Рихтера для количественной оценки магнитуды землетрясений. На изображении показано обрушившееся здание в Консепсьоне, Чили, во время землетрясения 2010 г. Источник: Wikimedia Commons.
Давайте посмотрим на пример обработки свойств логарифмов:
пример
Найдите значение x в следующем выражении:
Ответить
У нас есть логарифмическое уравнение, поскольку неизвестное находится в аргументе логарифма. Это решается путем оставления одного логарифма на каждой стороне равенства.
Начнем с размещения всех терминов, содержащих «x», слева от равенства, а тех, которые содержат только числа, справа:
журнал (5x + 1) - журнал (2x-1) = 1
Слева у нас есть вычитание двух логарифмов, которые можно записать как логарифм частного:
журнал = 1
Однако справа находится цифра 1, которую, как мы видели ранее, можно выразить как log 10. Так:
журнал = журнал 10
Чтобы равенство было истинным, аргументы логарифмов должны быть равны:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5х + 1 = 20 х - 10
-15 х = -11
х = 11/15
Практическое упражнение: шкала Рихтера
В 1957 году в Мексике произошло землетрясение силой 7,7 балла по шкале Рихтера. В 1960 году в Чили произошло еще одно землетрясение силой 9,5 балла.
Вычислите, во сколько раз землетрясение в Чили было сильнее землетрясения в Мексике, зная, что магнитуда M R по шкале Рихтера определяется по формуле:
M R = журнал (10 4 I)
Решение
Магнитуда землетрясения по шкале Рихтера является логарифмической функцией. Мы собираемся вычислить интенсивность каждого землетрясения, поскольку у нас есть магнитуды по Рихтеру. Сделаем это пошагово:
- Мексика : 7,7 = журнал (10 4 I)
Поскольку функция, обратная логарифму, является экспонентой, мы применяем ее к обеим частям равенства с намерением найти I, которое находится в аргументе логарифма.
Поскольку это десятичные логарифмы, основание равно 10. Тогда:
10 7,7 = 10 4 я
Интенсивность землетрясения в Мексике составила:
I M = 10 7,7 / 10 4 = 10 3,7
- Чили : 9,5 = журнал (10 4 I)
Та же процедура приводит нас к интенсивности чилийского землетрясения I Ch :
I Ch = 10 9,5 / 10 4 = 10 5,5
Теперь мы можем сравнить обе интенсивности:
I Ch / I M = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1
I Ch = 63,1. Я М
Землетрясение в Чили было примерно в 63 раза сильнее, чем в Мексике. Поскольку величина является логарифмической, она растет медленнее, чем интенсивность, поэтому разница в 1 в величине означает, что амплитуда сейсмической волны в 10 раз больше.
Разница между магнитудой обоих землетрясений составляет 1,8, поэтому мы могли ожидать разницу в интенсивности ближе к 100, чем к 10, как это было на самом деле.
Фактически, если бы разница была ровно 2, чилийское землетрясение было бы в 100 раз сильнее, чем мексиканское.
Ссылки
- Карена, М. 2019. Учебное пособие по довузовской математике. Национальный университет Литорала.
- Фигера, Дж. 2000. Математика 1-й. Разнообразный год. CO-BO редакции.
- Хименес, Р. 2008. Алгебра. Прентис Холл.
- Ларсон, Р. 2010. Вычисление переменной. Девятый. Издание. Макгроу Хилл.
- Стюарт, Дж. 2006. Precalculus: математика для исчисления. Пятые. Издание. Cengage Learning.