- Как вы выполняете биективную функцию?
- Инъективность функции
- Сюръективность функции
- Функциональное кондиционирование
- Примеры: решенные упражнения
- Упражнение 1
- Упражнение 2.
- Упражнение 3.
- Упражнение 4.
- Предлагаемые упражнения
- Ссылки
Биективная функция является один , который соответствует двойному состоянию бытия инъективны и сюръективно . То есть все элементы домена имеют одно изображение в кодомене, и, в свою очередь, кодобласть равна рангу функции ( R f ).
Это выполняется путем рассмотрения взаимно однозначного отношения между элементами домена и кодомена. Простым примером является функция F: R → R, определенная прямой F (x) = x
Источник: Автор
Замечено, что для каждого значения домена или начального набора (оба условия применяются в равной степени) есть одно изображение в кодомене или наборе прибытия. Кроме того, в кодомене нет другого элемента, кроме изображения.
Таким образом, F: R → R, определенная прямой F (x) = x, биективна
Как вы выполняете биективную функцию?
Для того, чтобы ответить на этот вопрос , необходимо иметь четкое представление о понятиях , связанных с инъективностью и Overjectivity функции , а также критериями для функций кондиционирования для того , чтобы адаптировать их к требованиям.
Инъективность функции
Функция является инъективной, когда каждый из элементов ее домена связан с одним элементом кодомена. Элемент кодомена может быть только изображением одного элемента домена, таким образом, значения зависимой переменной не могут повторяться.
Чтобы считать функцию инъективной , должны быть выполнены следующие условия:
∀ x 1 ≠ x 2 ⇒ F (x 1 ) ≠ F (x 2 )
Сюръективность функции
Функция классифицируется как сюръективная, если каждый элемент ее содомена является изображением хотя бы одного элемента предметной области.
Чтобы считать функцию сюръективной , должно выполняться следующее:
Пусть F: D f → C f
∀ b ℮ C f E a ℮ D f / F (a) = b
Это алгебраический способ установить, что для каждого «b», принадлежащего C f, существует «a», которое принадлежит D f , так что функция, вычисленная в «a», равна «b».
Функциональное кондиционирование
Иногда функция, которая не является биективной, может подвергаться определенным условиям. Эти новые условия могут сделать его биективной функцией. Допустимы все виды модификаций домена и кодомена функции, цель которых - выполнить свойства инъективности и сюръективности в соответствующих отношениях.
Примеры: решенные упражнения
Упражнение 1
Пусть функция F: R → R определяется прямой F (x) = 5x +1
A:
Замечено, что для каждого значения домена есть изображение в кодомене. Это изображение является уникальным , что делает F инъективна функцией . Таким же образом мы замечаем, что область значений функции равна ее рангу. Таким образом выполняется условие сюръективности .
Будучи инъективным и сюръективным одновременно, мы можем заключить, что
F: R → R, определяемая прямой F (x) = 5x +1, является биективной функцией.
Это относится ко всем линейным функциям (функциям, у которых наивысшая степень переменной равна единице).
Упражнение 2.
Пусть функция F: R → R определяется как F (x) = 3x 2 - 2
При рисовании горизонтальной линии наблюдается, что график встречается более чем один раз. В связи с этим функция F не является инъективной и, следовательно, не будет биективной, пока она определена в R → R
Точно так же есть значения codomain, которые не являются изображениями какого-либо элемента домена. Благодаря этому функция не является сюръективной, что также заслуживает того, чтобы обусловить множество приходов.
Перейдем к условию области определения и области значений функции
F: →
Где замечено, что новый домен охватывает значения от нуля до положительной бесконечности. Избегать повторения значений, влияющих на приемистость.
Точно так же был изменен кодомен, отсчитывая от «-2» до положительной бесконечности, исключая из кодомена значения, которые не соответствуют ни одному элементу домена.
Таким образом можно гарантировать, что F : → определяется как F (x) = 3x 2 - 2
Это биективно
Упражнение 3.
Пусть функция F: R → R определяется формулой F (x) = Sen (x)
В интервале синусоидальная функция меняет свои результаты от нуля до единицы.
Источник: Автор.
Функция F не соответствует критериям инъективности и сюръективности, поскольку значения зависимой переменной повторяются через каждый интервал π. Кроме того, элементы кодомена вне интервала не являются изображением какого-либо элемента домена.
При изучении графика функции F (x) = Sen (x) наблюдаются интервалы, на которых поведение кривой соответствует критерию биективности . Например, интервал D f = для домена. И C f = для домена.
Если функция изменяется, результат от 1 до -1, без повторения какого-либо значения в зависимой переменной. И при этом codomain равен значениям, принятым выражением Sen (x)
Таким образом, функция F: → определяется формулой F (x) = Sen (x). Это биективно
Упражнение 4.
Сформулируйте необходимые условия для D f и C f . Итак, выражение
F (x) = -x 2 биективен.
Источник: Автор
Повторение результатов наблюдается, когда переменная принимает противоположные значения:
F (2) = F (-2) = -4
F (3) = F (-3) = -9
F (4) = F (-4) = -16
Домен обусловлен, ограничивая его правой частью реальной линии.
D f =
Таким же образом наблюдается, что диапазон этой функции - это интервал, который, действуя в качестве кодобласти, удовлетворяет условиям сюръективности.
Таким образом, мы можем заключить, что
Выражение F: → определяется как F (x) = -x 2. Оно биективно.
Предлагаемые упражнения
Проверьте, являются ли следующие функции биективными:
F: → R определяется как F (x) = 5ctg (x)
F: → R определяется как F (x) = Cos (x - 3)
F: R → R определяется прямой F (x) = -5x + 4
Ссылки
- Введение в логику и критическое мышление. Меррили Х. Лосось. Питтсбургский университет
- Проблемы математического анализа. Петр Билер, Альфред Витковски. Вроцлавский университет. Польша.
- Элементы абстрактного анализа. Мичел О'Сиркоид, доктор философии. Кафедра математики. Университетский колледж Дублина, Beldfield, Dublind 4
- Введение в логику и методологию дедуктивных наук. Альфред Тарски, Нью-Йорк, Оксфорд. Издательство Оксфордского университета.
- Принципы математического анализа. Энрике Линес Эскардо. От редакции Реверте С. А. 1991. Барселона, Испания.