БИЕКТИВНАЯ ФУНКЦИЯ: ЧТО ЭТО ТАКОЕ, КАК ЭТО ДЕЛАЕТСЯ, ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Биективная функция является один , который соответствует двойному состоянию бытия инъективны и сюръективно . То есть все элементы домена имеют одно изображение в кодомене, и, в свою очередь, кодобласть равна рангу функции ( R _f ).

Это выполняется путем рассмотрения взаимно однозначного отношения между элементами домена и кодомена. Простым примером является функция F: R → R, определенная прямой F (x) = x

Источник: Автор

Замечено, что для каждого значения домена или начального набора (оба условия применяются в равной степени) есть одно изображение в кодомене или наборе прибытия. Кроме того, в кодомене нет другого элемента, кроме изображения.

Таким образом, F: R → R, определенная прямой F (x) = x, биективна

Как вы выполняете биективную функцию?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос , необходимо иметь четкое представление о понятиях , связанных с инъективностью и Overjectivity функции , а также критериями для функций кондиционирования для того , чтобы адаптировать их к требованиям.

Инъективность функции

Функция является инъективной, когда каждый из элементов ее домена связан с одним элементом кодомена. Элемент кодомена может быть только изображением одного элемента домена, таким образом, значения зависимой переменной не могут повторяться.

Чтобы считать функцию инъективной , должны быть выполнены следующие условия:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Сюръективность функции

Функция классифицируется как сюръективная, если каждый элемент ее содомена является изображением хотя бы одного элемента предметной области.

Чтобы считать функцию сюръективной , должно выполняться следующее:

Пусть F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Это алгебраический способ установить, что для каждого «b», принадлежащего C _f, существует «a», которое принадлежит D _f , так что функция, вычисленная в «a», равна «b».

Функциональное кондиционирование

Иногда функция, которая не является биективной, может подвергаться определенным условиям. Эти новые условия могут сделать его биективной функцией. Допустимы все виды модификаций домена и кодомена функции, цель которых - выполнить свойства инъективности и сюръективности в соответствующих отношениях.

Примеры: решенные упражнения

Упражнение 1

Пусть функция F: R → R определяется прямой F (x) = 5x +1

A:

Замечено, что для каждого значения домена есть изображение в кодомене. Это изображение является уникальным , что делает F инъективна функцией . Таким же образом мы замечаем, что область значений функции равна ее рангу. Таким образом выполняется условие сюръективности .

Будучи инъективным и сюръективным одновременно, мы можем заключить, что

F: R → R, определяемая прямой F (x) = 5x +1, является биективной функцией.

Это относится ко всем линейным функциям (функциям, у которых наивысшая степень переменной равна единице).

Упражнение 2.

Пусть функция F: R → R определяется как F (x) = 3x ² - 2

При рисовании горизонтальной линии наблюдается, что график встречается более чем один раз. В связи с этим функция F не является инъективной и, следовательно, не будет биективной, пока она определена в R → R

Точно так же есть значения codomain, которые не являются изображениями какого-либо элемента домена. Благодаря этому функция не является сюръективной, что также заслуживает того, чтобы обусловить множество приходов.

Перейдем к условию области определения и области значений функции

F: →

Где замечено, что новый домен охватывает значения от нуля до положительной бесконечности. Избегать повторения значений, влияющих на приемистость.

Точно так же был изменен кодомен, отсчитывая от «-2» до положительной бесконечности, исключая из кодомена значения, которые не соответствуют ни одному элементу домена.

Таким образом можно гарантировать, что F : → определяется как F (x) = 3x ² - 2

Это биективно

Упражнение 3.

Пусть функция F: R → R определяется формулой F (x) = Sen (x)

В интервале синусоидальная функция меняет свои результаты от нуля до единицы.

Источник: Автор.

Функция F не соответствует критериям инъективности и сюръективности, поскольку значения зависимой переменной повторяются через каждый интервал π. Кроме того, элементы кодомена вне интервала не являются изображением какого-либо элемента домена.

При изучении графика функции F (x) = Sen (x) наблюдаются интервалы, на которых поведение кривой соответствует критерию биективности . Например, интервал D _f = для домена. И C _f = для домена.

Если функция изменяется, результат от 1 до -1, без повторения какого-либо значения в зависимой переменной. И при этом codomain равен значениям, принятым выражением Sen (x)

Таким образом, функция F: → определяется формулой F (x) = Sen (x). Это биективно

Упражнение 4.

Сформулируйте необходимые условия для D _f и C _f . Итак, выражение

F (x) = -x ² биективен.

Источник: Автор

Повторение результатов наблюдается, когда переменная принимает противоположные значения:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

Домен обусловлен, ограничивая его правой частью реальной линии.

D _f =

Таким же образом наблюдается, что диапазон этой функции - это интервал, который, действуя в качестве кодобласти, удовлетворяет условиям сюръективности.

Таким образом, мы можем заключить, что

Выражение F: → определяется как F (x) = -x ^2. Оно биективно.

Предлагаемые упражнения

Проверьте, являются ли следующие функции биективными:

F: → R определяется как F (x) = 5ctg (x)

F: → R определяется как F (x) = Cos (x - 3)

F: R → R определяется прямой F (x) = -5x + 4

Ссылки

1. Введение в логику и критическое мышление. Меррили Х. Лосось. Питтсбургский университет
2. Проблемы математического анализа. Петр Билер, Альфред Витковски. Вроцлавский университет. Польша.
3. Элементы абстрактного анализа. Мичел О'Сиркоид, доктор философии. Кафедра математики. Университетский колледж Дублина, Beldfield, Dublind 4
4. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. Альфред Тарски, Нью-Йорк, Оксфорд. Издательство Оксфордского университета.
5. Принципы математического анализа. Энрике Линес Эскардо. От редакции Реверте С. А. 1991. Барселона, Испания.