ИНЪЕКТИВНАЯ ФУНКЦИЯ: ЧТО ЭТО ТАКОЕ, ДЛЯ ЧЕГО И ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2025

Инъективна функцией является любым отношением элементов домена с одним элементом из области значений. Также известные как функции « один к одному» ( 1–1 ), они являются частью классификации функций в отношении того, как связаны их элементы.

Элемент кодомена может быть только изображением одного элемента домена, таким образом, значения зависимой переменной не могут повторяться.

Источник: Автор.

Ярким примером может служить объединение мужчин с должностями в группу A, а в группу B - всех начальников. Функция F будет связывать каждого рабочего с его начальником. Если каждый рабочий связан с другим начальником через F , тогда F будет инъективной функцией .

Чтобы считать функцию инъективной , должны быть выполнены следующие условия:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Это алгебраический способ сказать. Для каждого x _1, отличного от x _2, мы имеем F (x ₁ ), отличную от F (x ₂ ).

Для чего нужны функции инъекции?

Инъективность - это свойство непрерывных функций, поскольку они обеспечивают присвоение изображений для каждого элемента области, что является важным аспектом непрерывности функции.

При рисовании линии, параллельной оси X, на графике инъективной функции, к графику следует прикасаться только в одной точке, независимо от того, на какой высоте или величине Y нарисована линия. Это графический способ проверить инъективность функции.

Другой способ проверить, является ли функция инъективной, - это решить независимую переменную X в терминах зависимой переменной Y. Затем необходимо проверить, содержит ли область этого нового выражения действительные числа, в то же время, что и для каждого значения Y есть единственное значение X.

Функции или отношения порядка подчиняются, среди прочего, обозначению F: D _f → C _f

То, что читается F, идет от D _f к C _f

Где функция F связывает наборы Domain и Codomain. Также известен как стартовый набор и завершающий набор.

Область D _f содержит допустимые значения для независимой переменной. Кодомен C _f состоит из всех значений, доступных зависимой переменной. Элементы C _f, относящиеся к D _f , известны как диапазон функции (R _f ).

Функциональное кондиционирование

Иногда функция, которая не является инъективной, может подвергаться определенным условиям. Эти новые условия могут сделать его инъективной функцией. Допустимы все виды модификаций домена и кодомена функции, цель которых состоит в том, чтобы выполнить свойства инъективности в соответствующем отношении.

Примеры инъекционных функций с решенными упражнениями

Пример 1

Пусть функция F: R → R определяется прямой F (x) = 2x - 3

A:

Источник: Автор.

Замечено, что для каждого значения домена есть изображение в кодомене. Этот образ уникален, что делает F инъективной функцией. Это относится ко всем линейным функциям (функциям, у которых наивысшая степень переменной равна единице).

Источник: Автор.

Пример 2

Пусть функция F: R → R определяется формулой F (x) = x ² +1

Источник: Автор

При рисовании горизонтальной линии наблюдается, что график встречается более чем один раз. По этой причине функция F не инъективна, пока R → R определено.

Переходим к условию области определения функции:

F: R ⁺ U {0} → R

Источник: Автор

Теперь независимая переменная не принимает отрицательных значений, таким образом избегается повторение результатов, а функция F: R ⁺ U {0} → R, определенная как F (x) = x ² + 1, является инъективной .

Другим гомологичным решением было бы ограничить область слева, то есть ограничить функцию только отрицательными и нулевыми значениями.

Перейдем к условию области определения функции

F: R ^- U {0} → R

Источник: Автор

Теперь независимая переменная не принимает отрицательных значений, таким образом избегается повторение результатов, а функция F: R ^- U {0} → R, определенная как F (x) = x ² + 1, является инъективной .

Тригонометрические функции имеют волнообразное поведение, при котором очень часто встречаются повторения значений в зависимой переменной. Посредством особого кондиционирования, основанного на предварительном знании этих функций, мы можем сузить область до соответствия условиям инъективности.

Пример 3

Пусть функция F: → R определяется формулой F (x) = Cos (x)

В интервале функция косинуса меняет свои результаты от нуля до единицы.

Источник: Автор.

Как видно на графике. Он начинается с нуля при x = - π / 2, затем достигает максимума в нуле. Именно после x = 0 значения начинают повторяться, пока не вернутся к нулю при x = π / 2. Таким образом, известно, что F (x) = Cos (x) не инъективно для интервала.

При изучении графика функции F (x) = Cos (x) наблюдаются интервалы, в которых поведение кривой адаптируется к критериям приемистости. Такие как интервал

Если функция изменяется, результат от 1 до -1, без повторения какого-либо значения в зависимой переменной.

Таким образом, функция function F: → R определяется как F (x) = Cos (x). Это инъективно

Есть нелинейные функции, в которых встречаются подобные случаи. Для выражений рационального типа, где знаменатель содержит хотя бы одну переменную, существуют ограничения, препятствующие инъективности отношения.

Пример 4

Пусть функция F: R → R определяется формулой F (x) = 10 / x

Функция определена для всех действительных чисел, кроме {0}, у которого есть неопределенность (не делится на ноль) .

Когда зависимая переменная приближается к нулю слева, она принимает очень большие отрицательные значения, а сразу после нуля значения зависимой переменной принимают большие положительные числа.

Это нарушение делает выражение F: R → R определенным как F (x) = 10 / x

Не будь инъекционным.

Как видно из предыдущих примеров, исключение значений из домена служит для «исправления» этих неопределенностей. Мы продолжаем исключать ноль из домена, оставляя начальный и конечный наборы, определенные следующим образом:

R - {0} → R

Где R - {0} символизирует действительные числа, за исключением набора, единственный элемент которого равен нулю.

Таким образом, выражение F: R - {0} → R, определенное как F (x) = 10 / x, инъективно.

Пример 5

Пусть функция F: → R определяется формулой F (x) = Sen (x)

В интервале синусоидальная функция меняет свои результаты от нуля до единицы.

Источник: Автор.

Как видно на графике. Он начинается с нуля при x = 0 и затем достигает максимума при x = π / 2. Именно после x = π / 2 значения начинают повторяться, пока не вернутся к нулю при x = π. Таким образом, известно, что F (x) = Sen (x) не инъективен для интервала.

При изучении графика функции F (x) = Sen (x) наблюдаются интервалы, в которых поведение кривой адаптируется к критериям приемистости. Такие как интервал

Если функция изменяется, результат от 1 до -1, без повторения какого-либо значения в зависимой переменной.

Таким образом, функция F: → R определяется как F (x) = Sen (x). Это инъективно

Пример 6

Убедитесь, что функция F: → R, определенная формулой F (x) = Tan (x)

F: → R определяется как F (x) = Cos (x + 1)

F: R → R определяется прямой F (x) = 7x + 2

Ссылки

1. Введение в логику и критическое мышление. Меррили Х. Лосось. Питтсбургский университет
2. Проблемы математического анализа. Петр Билер, Альфред Витковски. Вроцлавский университет. Польша.
3. Элементы абстрактного анализа. Мичел О'Сиркоид, доктор философии. Кафедра математики. Университетский колледж Дублина, Бельдфилд, Дублинд 4.
4. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. Альфред Тарски, Нью-Йорк, Оксфорд. Издательство Оксфордского университета.
5. Принципы математического анализа. Энрике Линес Эскардо. От редакции Реверте С. А. 1991. Барселона, Испания.