ОБЩИЙ ФАКТОР ПО ГРУППИРОВКЕ ТЕРМИНОВ: ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Общий фактор, группируя термины является алгебраической процедурой , которая позволяет писать некоторые алгебраические выражения в виде факторов. Для достижения этой цели вы должны сначала правильно сгруппировать выражение и заметить, что каждая сформированная таким образом группа имеет общий фактор.

Правильное применение техники требует некоторой практики, но вы быстро овладеете ею. Давайте сначала рассмотрим наглядный пример, описанный шаг за шагом. Затем читатель может применить полученные знания в каждом из упражнений, которые появятся позже.

Рисунок 1. Использование общего множителя путем группировки терминов упрощает работу с алгебраическими выражениями. Источник: Pixabay.

Например, предположим, что вам нужно разложить на множители следующее выражение:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Это алгебраическое выражение состоит из 4 мономов или членов, разделенных знаками + и -, а именно:

2x ² , 2xy, -3zx, -3zy

Если присмотреться, то x является общим для первых трех, но не последним, в то время как y является общим для второго и четвертого, а z является общим для третьего и четвертого.

Таким образом, в принципе не существует общего фактора для четырех терминов одновременно, но если они сгруппированы, как будет показано в следующем разделе, возможно, что появится один, который поможет записать выражение как произведение двух или более факторы.

Примеры

Разложите выражение на множители : 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Шаг 1 : Группировка

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Шаг 2. Найдите общий фактор для каждой группы

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2х (х + у) - 3z (х + у)

Я mportant : отрицательный знак также является общим фактором , который необходимо принимать во внимание.

Теперь обратите внимание, что круглые скобки (x + y) повторяются в двух членах, полученных группировкой. Это общий фактор, который искали.

Шаг 3. Разложите все выражение на множители

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

С предыдущим результатом была достигнута цель факторизации, которая представляет собой не что иное, как преобразование алгебраического выражения, основанного на сложении и вычитании членов, в произведение двух или более факторов, в нашем примере: (x + y) и (2x - 3z).

Важные вопросы об общем факторе по группировке

Вопрос 1 : Как узнать, что результат правильный?

Ответ : К полученному результату применяется свойство распределенности, и после сокращения и упрощения полученное таким образом выражение должно совпадать с исходным, в противном случае имеется ошибка.

В предыдущем примере мы работаем в обратном порядке с результатом, чтобы проверить его правильность:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

Поскольку порядок добавлений не влияет на сумму, после применения свойства распределения возвращаются все исходные члены, включая знаки, следовательно, факторизация верна.

Вопрос 2: Могли ли они быть сгруппированы по-другому?

Ответ: Есть алгебраические выражения, допускающие более одной формы группировки, а другие - нет. В выбранном примере читатель может попробовать другие возможности самостоятельно, например, сгруппировать следующим образом:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

И вы можете убедиться, что результат такой же, как и здесь. Поиск оптимальной группировки - дело практики.

Вопрос 3: Почему необходимо брать общий множитель из алгебраического выражения?

Ответ : Потому что есть приложения, в которых факторизованное выражение упрощает вычисления. Например, предположим, что вы хотите установить 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy равным 0. Каковы возможности?

Чтобы ответить на этот вопрос, факторная версия с точки зрения гораздо более полезна, чем исходная разработка. Об этом говорится так:

(х + у) (2х - 3z) = 0

Одна из возможностей того, что выражение имеет значение 0, состоит в том, что x = -y, независимо от значения z. Во-вторых, x = (3/2) z, независимо от значения y.

упражнения

- Упражнение 1

Выделите общий множитель следующего выражения, сгруппировав термины:

ax + ay + bx + по

Решение

Первые два сгруппированы с общим множителем "a", а последние два - с общим множителем "b":

ах + ау + Ьх + по = а (х + у) + Ь (х + у)

Как только это будет сделано, выявляется новый общий фактор, который равен (x + y), так что:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Другой способ группировки

Это выражение поддерживает другой способ группировки. Давайте посмотрим, что произойдет, если термины переставить и составить группу из тех, которые содержат x, а другую - из тех, которые содержат y:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)

Таким образом, новый общий множитель (a + b):

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Что приводит к такому же результату для первой группы, которая была протестирована.

- Упражнение 2.

Следующее алгебраическое выражение необходимо записать как произведение двух множителей:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

Решение

Это выражение содержит 6 терминов. Давайте попробуем сгруппировать первый и четвертый, второй и третий и, наконец, пятый и шестой:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab-3b ² )

Теперь каждая скобка разложена на множители:

= (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab -3b ² ) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b)

На первый взгляд кажется, что ситуация сложная, но не стоит расстраивать читателя, поскольку мы собираемся переписать последний термин:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

Последние два члена теперь имеют общий множитель (3b-a), поэтому их можно разложить на множители. Очень важно не упускать из виду первый член a ² (3a - 1), который должен сопровождать все как дополнение, даже если вы не работаете с ним:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

Выражение было сокращено до двух членов, и в последнем обнаружен новый общий фактор - «b». Теперь осталось:

а ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

Следующий общий множитель - 3a - 1:

а ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

Или, если вы предпочитаете без скобок:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² –ab + 3b ² )

Может ли читатель найти другой способ группировки, который приведет к тому же результату?

Рисунок 2. Предлагаемые упражнения по факторингу. Источник: Ф. Сапата.

Ссылки

1. Балдор, А. 1974. Элементарная алгебра. Культурная Венесолана С.А.
2. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Прентис Холл.
3. Основные случаи факторинга. Получено с: julioprofe.net.
4. НАУ. Основы математики: факторизация по группировке терминов. Факультет бухгалтерского учета и управления.
5. Зилл, Д. 1984. Алгебра и тригонометрия. Макгроу Хилл.