- умножение вещественного числа а на вектор V : α v дает другой вектор и принадлежность к V .

Художественное видение векторного пространства. Источник: Pixabay

Для обозначения вектора мы используем жирный шрифт ( v - вектор), а для скаляров или чисел - греческие буквы (α - число).

Аксиомы и свойства

Чтобы векторное пространство было задано, должны выполняться следующие восемь аксиом:

1-коммутативность: u + v = v + u

2-Транзитивность: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3-Существование нулевого вектора 0 такого, что 0 + v = v

4-Существование противоположного: противоположность v есть (- v ), поскольку v + (- v ) = 0

5-Дистрибутивность произведения относительно векторной суммы: α ( u + v ) = α u + α v

6-Дистрибутивность произведения относительно скалярной суммы: (α + β) v = α v + β v

7-ассоциативность скалярного произведения: α (β v ) = (α β) v

8-Число 1 - нейтральный элемент, так как: 1 v = v

Примеры векторных пространств

Пример 1

Векторы в плоскости (R²) являются примером векторного пространства. Вектор на плоскости - это геометрический объект, имеющий величину и направление. Он представлен ориентированным сегментом, который принадлежит указанной плоскости и имеет размер, пропорциональный его величине.

Сумму двух векторов на плоскости можно определить как операцию геометрического переноса второго вектора после первого. Результатом суммы является ориентированный сегмент, который начинается от начала первого и доходит до конца второго.

На рисунке видно, что сумма в R² коммутативна.

Рис. 2. Векторы на плоскости образуют векторное пространство. Источник: самодельный.

Также определено произведение числа α и вектора. Если число положительное, направление исходного вектора сохраняется, а размер в α раз больше исходного вектора. Если число отрицательное, направление противоположное, и размер результирующего вектора является абсолютным значением числа.

Вектор напротив любого вектора v равен - v = (- 1) v .

Нулевой вектор - это точка на плоскости R², и нулевое число, умноженное на вектор, дает нулевой вектор.

Все сказанное проиллюстрировано на рисунке 2.

Пример 2

Множество P всех многочленов степени меньше или равной двум, включая нулевую степень, образуют набор, который удовлетворяет всем аксиомам векторного пространства.

Пусть многочлен P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

Определяется сумма двух многочленов: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Сумма многочленов, принадлежащих множеству P , коммутативна и транзитивна.

Нулевой многочлен, принадлежащий множеству P, - это тот, все коэффициенты которого равны нулю:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Сумма скаляра α по многочлену определяется как: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

Противоположный многочлен P (x) равен -P (x) = (-1) P (x).

Из всего вышесказанного следует, что множество P всех многочленов степени меньше или равной двум является векторным пространством.

Пример 3

Множество M всех матриц из m строк xn столбцов, элементы которых являются действительными числами, образуют вещественное векторное пространство относительно операций сложения матриц и произведения числа на матрицу.

Пример 4

Множество F непрерывных функций действительной переменной образуют векторное пространство, поскольку можно определить сумму двух функций, умножение скаляра на функцию, нулевую функцию и симметричную функцию. Они также выполняют аксиомы, характеризующие векторное пространство.

База и размерность векторного пространства

Основание

База векторного пространства определяется как набор линейно независимых векторов, так что из их линейной комбинации может быть сгенерирован любой вектор этого векторного пространства.

Линейное объединение двух или более векторов состоит из умножения векторов на некоторый скаляр и последующего векторного сложения.

Например, в векторном пространстве векторов в трех измерениях, образованном R³, используется канонический базис, определяемый единичными векторами (с величиной 1) i , j , k .

Где i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); к = (0, 0, 1). Это декартовы или канонические векторы.

Любой вектор V, принадлежащий R³, записывается как V = a i + b j + c k , что является линейной комбинацией базовых векторов i , j , k . Скалярный или числа A, B, C, известны как декартовые компоненты V .

Также сказано, что базовые векторы векторного пространства образуют генераторную установку векторного пространства.

измерение

Размерность векторного пространства - это количество элементов в векторном базисе этого пространства; то есть количество векторов, составляющих указанную базу.

Этот кардинал - это максимальное количество линейно независимых векторов этого векторного пространства и в то же время минимальное количество векторов, которые образуют генераторную установку этого пространства.

Основания векторного пространства не уникальны, но все основания одного векторного пространства имеют одинаковую размерность.

Векторное подпространство

Векторное подпространство S векторного пространства V - это подмножество V, в котором определены те же операции, что и в V, и выполняются все аксиомы векторного пространства. Следовательно, подпространство S также будет векторным пространством.

Примером векторного подпространства являются векторы, принадлежащие плоскости XY. Это подпространство является подмножеством векторного пространства размерности больше, чем набор векторов, принадлежащих трехмерному пространству XYZ.

Другой пример векторного подпространства S1 векторного пространства S, образованного всеми матрицами 2 × 2 с действительными элементами, определяется ниже:

С другой стороны, S2, определенный ниже, хотя и является подмножеством S, не образует векторное подпространство:

Решенные упражнения

-Упражнение 1

Пусть векторы V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) и V3 = (0, 0, 3) в R³.

а) Покажите, что они линейно независимы.

б) Покажите, что они образуют базис в R³, поскольку любую тройку (x, y, z) можно записать как линейную комбинацию V1, V2, V3.

c) Найдите компоненты тройки V = (-3,5,4) в базе V1 , V2 , V3 .

Решение

Критерий демонстрации линейной независимости состоит в установлении следующей системы уравнений относительно α, β и γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

Если единственным решением этой системы является α = β = γ = 0, то векторы линейно независимы, в противном случае - нет.

Для получения значений α, β и γ мы предлагаем следующую систему уравнений:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Первое приводит к α = 0, второе α = -2 ∙ β, но поскольку α = 0, то β = 0. Из третьего уравнения следует, что γ = (- 1/3) β, но поскольку β = 0, то γ = 0.

отвечать на

Сделан вывод, что это набор линейно независимых векторов в R³.

Ответ б

Теперь давайте запишем тройку (x, y, z) как линейную комбинацию V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Где у вас есть:

α = х

α + 2 β = у

β + 3 γ = z

Первый указывает α = x, второй β = (yx) / 2 и третий γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. Таким образом, мы нашли образующие α, β и γ любой тройки R³

Ответ c

Перейдем к поиску компонентов тройки V = (-3,5,4) в базе V1 , V2 , V3 .

Подставляем соответствующие значения в выражения, найденные выше для генераторов.

В этом случае имеем: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4-5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

То есть:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

По последнему:

В = -3 В1 + 4 В2 + 0 В3

Мы заключаем, что V1, V2, V3 образуют базис в векторном пространстве R³ размерности 3.

-Упражнение 2.

Выразите многочлен P (t) = t² + 4t -3 как линейную комбинацию P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t и P3 (t) = t + 3.

Решение

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

где числа x, y, z подлежат определению.

Умножая и группируя члены с одинаковой степенью по t, получаем:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Это приводит нас к следующей системе уравнений:

х + 2у = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Решения этой системы уравнений:

х = -3, у = 2, г = 4.

То есть:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Упражнение 3.

Покажем, что векторы v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) и v3 = (2, 1, -1, 1) группы R⁴ линейно независимы.

Решение

Мы линейно объединяем три вектора v1 , v2 , v3 и требуем, чтобы комбинация добавляла нулевой элемент R⁴

а v1 + b v2 + c v3 = 0

То есть,

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Это приводит нас к следующей системе уравнений:

а + б + 2 с = 0

б + с = 0

-a - c = 0

2 а + Ь + с = 0

Вычитая первое и четвертое, мы имеем: -a + c = 0, что означает a = c.

Но если мы посмотрим на третье уравнение, у нас будет a = -c. Единственный способ, при котором a = c = (- c) выполняется, - это чтобы c было равно 0, и, следовательно, a также будет 0.

а = с = 0

Если мы подставим этот результат в первое уравнение, мы сделаем вывод, что b = 0.

Наконец, a = b = c = 0, так что можно сделать вывод, что векторы v1, v2 и v3 линейно независимы.

Ссылки

1. Липшуц, С. 1993. Линейная алгебра. Второе издание. McGraw-Hill. 167-198.