ТЕОРЕМА МУАВРА: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И РЕШЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2026

Теорема Муавра прикладной алгебры фундаментальных процессов, такие , как полномочия и извлечение корней в комплексных числах. Теорема была сформулирована известным французским математиком Абрахамом де Муавром (1730 г.), который связал комплексные числа с тригонометрией.

Авраам Муавр создал эту ассоциацию через выражения синуса и косинуса. Этот математик создал своего рода формулу, с помощью которой можно возвести комплексное число z в степень n, которая является положительным целым числом, большим или равным 1.

Что такое теорема Муавра?

Теорема Муавра утверждает следующее:

Если у нас есть комплексное число в полярной форме z = r _Ɵ , где r - модуль комплексного числа z, а угол Ɵ называется амплитудой или аргументом любого комплексного числа с 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, чтобы вычислить его n– -й степени нет необходимости умножать ее на себя в n раз; то есть не обязательно изготавливать следующий продукт:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*. . . *} г = г _{Ɵ *} г _{Ɵ *} г _{Ɵ *. . . *} r _Ɵ n раз.

Напротив, теорема гласит, что, записывая z в его тригонометрической форме, для вычисления n-й степени мы действуем следующим образом:

Если z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), то z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Например, если n = 2, то z ² = r ² . Если n = 3, то z ³ = z ² _* z. Также:

г ³ = г ² _* г = г ³ .

Таким образом, тригонометрические отношения синуса и косинуса могут быть получены для кратных углов, если известны тригонометрические отношения угла.

Таким же образом его можно использовать для поиска более точных и менее запутанных выражений для корня n-й степени комплексного числа z, так что z ⁿ = 1.

Для доказательства теоремы Муавра используется принцип математической индукции: если целое число «a» обладает свойством «P», и если для любого целого числа «n» больше, чем «a», имеющего свойство «P» Это означает, что n + 1 также имеет свойство «P», тогда все целые числа больше или равные «a» имеют свойство «P».

демонстрация

Таким образом, доказательство теоремы проводится в следующие шаги:

Индуктивная база

Сначала проверяется на n = 1.

Поскольку z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹ , теорема верна для n = 1.

Индуктивная гипотеза

Предполагается, что формула верна для некоторого положительного целого числа, то есть n = k.

г ^к = (г (соз Ɵ + I _* грех Ɵ)) ^к = г ^к (сов к Ɵ + I _* грех к Ɵ).

Проверка

Доказано, что это верно для n = k + 1.

Поскольку z ^{k + 1} = z ^k _* z, то z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + я _* сенƟ).

Затем выражения умножаются:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* сенƟ)).

На какое-то время фактор r ^{k + 1} игнорируется , и берется общий множитель i:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + я (cos kƟ) _* (sinƟ) + я (sin kƟ) _* (cosƟ) + я ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

Поскольку i ² = -1, подставляем его в выражение и получаем:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + я (cos kƟ) _* (sinƟ) + я (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Теперь заказаны действительная и мнимая части:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + я.

Чтобы упростить выражение, для косинуса и синуса применяются тригонометрические тождества суммы углов, а именно:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

В данном случае переменными являются углы Ɵ и kƟ. Применяя тригонометрические тождества, мы имеем:

cos kƟ _* cosƟ - грех kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

грех kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = грех (kƟ + Ɵ)

Таким образом, выражение выглядит так:

z ^{k + 1} знак равно r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

Таким образом, можно показать, что результат верен для n = k + 1. По принципу математической индукции делается вывод, что результат верен для всех положительных целых чисел; то есть n ≥ 1.

Отрицательное целое число

Теорема Муавра также применяется, когда n ≤ 0. Рассмотрим отрицательное целое число «n»; тогда «n» можно записать как «-m», то есть n = -m, где «m» - положительное целое число. Таким образом:

(соз Ɵ + я _* грех Ɵ) ^п = (соз Ɵ + я _* грех Ɵ) ^-м

Чтобы получить показатель степени «m» положительным образом, выражение записывается обратно:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Теперь используется, что если z = a + b * i - комплексное число, то 1 ÷ z = ab * i. Таким образом:

(соз Ɵ + я _* грех Ɵ) ^п = соз (мƟ) - я _* грех (мƟ).

Используя cos (x) = cos (-x) и -sen (x) = sin (-x), мы имеем:

(соз Ɵ + я _* грех Ɵ) ^п =

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(соз Ɵ + я _* грех Ɵ) ^п = соз (пƟ) - я _* грех (пƟ).

Таким образом, можно сказать, что теорема применима ко всем целым значениям «n».

Решенные упражнения

Расчет положительных степеней

Одна из операций с комплексными числами в их полярной форме - это умножение на два из них; в этом случае модули умножаются и аргументы добавляются.

Если у вас есть два комплексных числа z _{1 и} z ₂ и вы хотите вычислить (z ₁ * z ₂ ) ² , действуйте следующим образом:

г ₁ г ₂ = *

Распределительное свойство распространяется:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ).

Они сгруппированы, принимая термин «i» как общий фактор выражений:

г ₁ г ₂ = г ₁ г ₂

Поскольку i ² = -1, он подставляется в выражение:

г ₁ г ₂ = г ₁ г ₂

Реальные термины перегруппированы с реальными, а мнимые - с мнимыми:

г ₁ г ₂ = г ₁ г ₂

Наконец, применяются тригонометрические свойства:

г ₁ г ₂ знак равно г ₁ г ₂ .

В заключение:

(г ₁ * г ₂ ) ² = (г ₁ г ₂ ) ²

= г ₁ ² г ₂ ² .

Упражнение 1

Запишите комплексное число в полярной форме, если z = - 2 -2i. Затем, используя теорему Муавра, вычислите z ⁴ .

Решение

Комплексное число z = -2 -2i выражается в прямоугольной форме z = a + bi, где:

а = -2.

б = -2.

Зная, что полярная форма имеет вид z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), нам нужно определить значение модуля «r» и значение аргумента «Ɵ». Поскольку r = √ (a² + b²), данные значения подставляются:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Затем, чтобы определить значение «Ɵ», применяется его прямоугольная форма, которая задается формулой:

загар Ɵ = b ÷ a

загар Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Поскольку tan (Ɵ) = 1 и a <0, то имеем:

Ɵ = arctg (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Поскольку значения «r» и «Ɵ» уже получены, комплексное число z = -2 -2i можно выразить в полярной форме, подставив значения:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Теперь воспользуемся теоремой Муавра для вычисления z ⁴ :

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (соз (5Π) + я _* грех (5Π)).

Упражнение 2.

Найдите произведение комплексных чисел, выразив его в полярной форме:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o )

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o ).

Затем вычислите (z1 * z2) ².

Решение

Сначала формируется произведение заданных чисел:

г ₁ г ₂ = *

Затем модули умножаются друг на друга и складываются аргументы:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

Выражение упрощается:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o ).

Наконец, применима теорема Муавра:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o )) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o )).

Расчет отрицательных степеней

Чтобы разделить два комплексных числа z _{1 и} z ₂ в их полярной форме, модуль делится, а аргументы вычитаются. Таким образом, частное равно z ₁ ÷ z ₂ и выражается следующим образом:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ().

Как и в предыдущем случае, если мы хотим вычислить (z1 ÷ z2) ³, сначала выполняется деление, а затем используется теорема Муавра.

Упражнение 3.

Кубики:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

вычислить (z1 ÷ z2) ³.

Решение

Следуя шагам, описанным выше, можно сделать вывод, что:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Ссылки

1. Артур Гудман, LH (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Pearson Education.
2. Краучер, М. (nd). Из теоремы Муавра для триггерных тождеств. Вольфрам Демонстрационный проект.
3. Хазевинкель, М. (2001). Энциклопедия математики.
4. Макс Петерс, WL (1972). Алгебра и тригонометрия.
5. Перес, CD (2010). Pearson Education.
6. Стэнли, Г. (nd). Линейная алгебра. Гроу-Хилл.
7. , М. (1997). Предварительный расчет. Pearson Education.