- Что такое теорема Муавра?
- демонстрация
- Индуктивная база
- Индуктивная гипотеза
- Проверка
- Отрицательное целое число
- Решенные упражнения
- Расчет положительных степеней
- Упражнение 1
- Решение
- Упражнение 2.
- Решение
- Расчет отрицательных степеней
- Упражнение 3.
- Решение
- Ссылки
Теорема Муавра прикладной алгебры фундаментальных процессов, такие , как полномочия и извлечение корней в комплексных числах. Теорема была сформулирована известным французским математиком Абрахамом де Муавром (1730 г.), который связал комплексные числа с тригонометрией.
Авраам Муавр создал эту ассоциацию через выражения синуса и косинуса. Этот математик создал своего рода формулу, с помощью которой можно возвести комплексное число z в степень n, которая является положительным целым числом, большим или равным 1.

Что такое теорема Муавра?
Теорема Муавра утверждает следующее:
Если у нас есть комплексное число в полярной форме z = r Ɵ , где r - модуль комплексного числа z, а угол Ɵ называется амплитудой или аргументом любого комплексного числа с 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, чтобы вычислить его n– -й степени нет необходимости умножать ее на себя в n раз; то есть не обязательно изготавливать следующий продукт:
Z n = z * z * z *. . . * г = г Ɵ * г Ɵ * г Ɵ *. . . * r Ɵ n раз.
Напротив, теорема гласит, что, записывая z в его тригонометрической форме, для вычисления n-й степени мы действуем следующим образом:
Если z = r (cos Ɵ + i * sin Ɵ), то z n = r n (cos n * Ɵ + i * sin n * Ɵ).
Например, если n = 2, то z 2 = r 2 . Если n = 3, то z 3 = z 2 * z. Также:
г 3 = г 2 * г = г 3 .
Таким образом, тригонометрические отношения синуса и косинуса могут быть получены для кратных углов, если известны тригонометрические отношения угла.
Таким же образом его можно использовать для поиска более точных и менее запутанных выражений для корня n-й степени комплексного числа z, так что z n = 1.
Для доказательства теоремы Муавра используется принцип математической индукции: если целое число «a» обладает свойством «P», и если для любого целого числа «n» больше, чем «a», имеющего свойство «P» Это означает, что n + 1 также имеет свойство «P», тогда все целые числа больше или равные «a» имеют свойство «P».
демонстрация
Таким образом, доказательство теоремы проводится в следующие шаги:
Индуктивная база
Сначала проверяется на n = 1.
Поскольку z 1 = (r (cos Ɵ + i * sin Ɵ)) 1 = r 1 (cos Ɵ + i * sin Ɵ) 1 = r 1 , теорема верна для n = 1.
Индуктивная гипотеза
Предполагается, что формула верна для некоторого положительного целого числа, то есть n = k.
г к = (г (соз Ɵ + I * грех Ɵ)) к = г к (сов к Ɵ + I * грех к Ɵ).
Проверка
Доказано, что это верно для n = k + 1.
Поскольку z k + 1 = z k * z, то z k + 1 = (r (cos Ɵ + i * sin Ɵ)) k + 1 = r k (cos kƟ + i * sin kƟ) * r (cos Ɵ + я * сенƟ).
Затем выражения умножаются:
z k + 1 = r k + 1 ((cos kƟ) * (cosƟ) + (cos kƟ) * (i * sinƟ) + (i * sin kƟ) * (cosƟ) + (i * sin kƟ) * (i * сенƟ)).
На какое-то время фактор r k + 1 игнорируется , и берется общий множитель i:
(cos kƟ) * (cosƟ) + я (cos kƟ) * (sinƟ) + я (sin kƟ) * (cosƟ) + я 2 (sin kƟ) * (sinƟ).
Поскольку i 2 = -1, подставляем его в выражение и получаем:
(cos kƟ) * (cosƟ) + я (cos kƟ) * (sinƟ) + я (sin kƟ) * (cosƟ) - (sin kƟ) * (sinƟ).
Теперь заказаны действительная и мнимая части:
(cos kƟ) * (cosƟ) - (sin kƟ) * (sinƟ) + я.
Чтобы упростить выражение, для косинуса и синуса применяются тригонометрические тождества суммы углов, а именно:
cos (A + B) = cos A * cos B - sin A * sin B.
sin (A + B) = sin A * cos B - cos A * cos B.
В данном случае переменными являются углы Ɵ и kƟ. Применяя тригонометрические тождества, мы имеем:
cos kƟ * cosƟ - грех kƟ * sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)
грех kƟ * cosƟ + cos kƟ * sinƟ = грех (kƟ + Ɵ)
Таким образом, выражение выглядит так:
z k + 1 знак равно r k + 1 (cos (kƟ + Ɵ) + i * sin (kƟ + Ɵ))
z k + 1 = r k + 1 (cos + i * sin).
Таким образом, можно показать, что результат верен для n = k + 1. По принципу математической индукции делается вывод, что результат верен для всех положительных целых чисел; то есть n ≥ 1.
Отрицательное целое число
Теорема Муавра также применяется, когда n ≤ 0. Рассмотрим отрицательное целое число «n»; тогда «n» можно записать как «-m», то есть n = -m, где «m» - положительное целое число. Таким образом:
(соз Ɵ + я * грех Ɵ) п = (соз Ɵ + я * грех Ɵ) -м
Чтобы получить показатель степени «m» положительным образом, выражение записывается обратно:
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos Ɵ + i * sin Ɵ) m
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos mƟ + i * sin mƟ)
Теперь используется, что если z = a + b * i - комплексное число, то 1 ÷ z = ab * i. Таким образом:
(соз Ɵ + я * грех Ɵ) п = соз (мƟ) - я * грех (мƟ).
Используя cos (x) = cos (-x) и -sen (x) = sin (-x), мы имеем:
(соз Ɵ + я * грех Ɵ) п =
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = cos (- mƟ) + i * sin (-mƟ)
(соз Ɵ + я * грех Ɵ) п = соз (пƟ) - я * грех (пƟ).
Таким образом, можно сказать, что теорема применима ко всем целым значениям «n».
Решенные упражнения
Расчет положительных степеней
Одна из операций с комплексными числами в их полярной форме - это умножение на два из них; в этом случае модули умножаются и аргументы добавляются.
Если у вас есть два комплексных числа z 1 и z 2 и вы хотите вычислить (z 1 * z 2 ) 2 , действуйте следующим образом:
г 1 г 2 = *
Распределительное свойство распространяется:
z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + i * cos Ɵ 1 * i * sin Ɵ 2 + i * sin Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + i 2 * sin Ɵ 1 * sin Ɵ 2 ).
Они сгруппированы, принимая термин «i» как общий фактор выражений:
г 1 г 2 = г 1 г 2
Поскольку i 2 = -1, он подставляется в выражение:
г 1 г 2 = г 1 г 2
Реальные термины перегруппированы с реальными, а мнимые - с мнимыми:
г 1 г 2 = г 1 г 2
Наконец, применяются тригонометрические свойства:
г 1 г 2 знак равно г 1 г 2 .
В заключение:
(г 1 * г 2 ) 2 = (г 1 г 2 ) 2
= г 1 2 г 2 2 .
Упражнение 1
Запишите комплексное число в полярной форме, если z = - 2 -2i. Затем, используя теорему Муавра, вычислите z 4 .
Решение
Комплексное число z = -2 -2i выражается в прямоугольной форме z = a + bi, где:
а = -2.
б = -2.
Зная, что полярная форма имеет вид z = r (cos Ɵ + i * sin Ɵ), нам нужно определить значение модуля «r» и значение аргумента «Ɵ». Поскольку r = √ (a² + b²), данные значения подставляются:
r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)
= √ (4 + 4)
= √ (8)
= √ (4 * 2)
= 2√2.
Затем, чтобы определить значение «Ɵ», применяется его прямоугольная форма, которая задается формулой:
загар Ɵ = b ÷ a
загар Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.
Поскольку tan (Ɵ) = 1 и a <0, то имеем:
Ɵ = arctg (1) + Π.
= Π / 4 + Π
= 5Π / 4.
Поскольку значения «r» и «Ɵ» уже получены, комплексное число z = -2 -2i можно выразить в полярной форме, подставив значения:
z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i * sin (5Π / 4)).
Теперь воспользуемся теоремой Муавра для вычисления z 4 :
z 4 = 2√2 (cos (5Π / 4) + i * sin (5Π / 4)) 4
= 32 (соз (5Π) + я * грех (5Π)).
Упражнение 2.
Найдите произведение комплексных чисел, выразив его в полярной форме:
z1 = 4 (cos 50 o + i * sin 50 o )
z2 = 7 (cos 100 o + i * sin 100 o ).
Затем вычислите (z1 * z2) ².
Решение
Сначала формируется произведение заданных чисел:
г 1 г 2 = *
Затем модули умножаются друг на друга и складываются аргументы:
z 1 z 2 = (4 * 7) *
Выражение упрощается:
z 1 z 2 = 28 * (cos 150 o + (i * sin 150 o ).
Наконец, применима теорема Муавра:
(z1 * z2) ² = (28 * (cos 150 o + (i * sin 150 o )) ² = 784 (cos 300 o + (i * sin 300 o )).
Расчет отрицательных степеней
Чтобы разделить два комплексных числа z 1 и z 2 в их полярной форме, модуль делится, а аргументы вычитаются. Таким образом, частное равно z 1 ÷ z 2 и выражается следующим образом:
z 1 ÷ z 2 = r1 / r2 ().
Как и в предыдущем случае, если мы хотим вычислить (z1 ÷ z2) ³, сначала выполняется деление, а затем используется теорема Муавра.
Упражнение 3.
Кубики:
z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),
z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),
вычислить (z1 ÷ z2) ³.
Решение
Следуя шагам, описанным выше, можно сделать вывод, что:
(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³
= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³
= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).
Ссылки
- Артур Гудман, LH (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Pearson Education.
- Краучер, М. (nd). Из теоремы Муавра для триггерных тождеств. Вольфрам Демонстрационный проект.
- Хазевинкель, М. (2001). Энциклопедия математики.
- Макс Петерс, WL (1972). Алгебра и тригонометрия.
- Перес, CD (2010). Pearson Education.
- Стэнли, Г. (nd). Линейная алгебра. Гроу-Хилл.
- , М. (1997). Предварительный расчет. Pearson Education.
