ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, ПРИМЕРЫ И УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2026

Теорема существования и единственности устанавливает необходимые и достаточные условия для того, чтобы дифференциальное уравнение первого порядка с заданным начальным условием имело решение и чтобы это решение было единственным.

Однако теорема не дает никаких методов или указаний, как найти такое решение. Теорема существования и единственности также распространяется на дифференциальные уравнения высшего порядка с начальными условиями, известную как задача Коши.

Рисунок 1. Показано дифференциальное уравнение с начальным условием и его решение. Теорема существования и единственности гарантирует, что это единственно возможное решение.

Формальная формулировка теоремы существования и единственности следующая:

«Для дифференциального уравнения y '(x) = f (x, y) с начальным условием y (a) = b существует по крайней мере одно решение в прямоугольной области плоскости XY, которая содержит точку (a, b), если f (x, y) непрерывна в этой области. И если частная производная f по y: g = ∂f / ∂y непрерывна в той же прямоугольной области, то решение единственно в окрестности точки (a, b), содержащейся в области непрерывности fy грамм. "

Полезность этой теоремы заключается, во-первых, в знании того, в каких областях плоскости XY может существовать решение, а также в знании того, является ли найденное решение единственно возможным или существуют другие.

Обратите внимание: если условие единственности не выполняется, теорема не может предсказать, сколько всего решений имеет задача Коши: возможно, это одно, два или более.

Доказательство теоремы существования и единственности.

Рисунок 2. Шарлю Эмилю Пикару (1856-1941) приписывают одно из первых доказательств теоремы существования и единственности. Источник: Wikimedia Commons.

Известны два возможных доказательства этой теоремы, одно из которых - доказательство Шарля Эмиля Пикара (1856-1941), а другое - Джузеппе Пеано (1858-1932), основанное на работах Огюстена Луи Коши (1789-1857). .

Примечательно, что в доказательстве этой теоремы принимали участие самые блестящие математические умы девятнадцатого века, поэтому можно предположить, что ни одно из них не является простым.

Чтобы формально доказать теорему, необходимо сначала установить ряд более сложных математических понятий, таких как функции липшицевского типа, банаховы пространства, теорема существования Каратеодори и некоторые другие, которые выходят за рамки статьи.

Большая часть дифференциальных уравнений, которые используются в физике, имеют дело с непрерывными функциями в интересующих нас областях, поэтому мы ограничимся демонстрацией того, как теорема применяется к простым уравнениям.

Примеры

- Пример 1

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение с начальным условием:

у '(х) = - у; с y (1) = 3

Есть решение этой проблемы? Это единственно возможное решение?

Ответы

Во-первых, оценивается существование решения дифференциального уравнения и то, что оно также удовлетворяет начальному условию.

В этом примере f (x, y) = - и условие существования требует знания, является ли f (x, y) непрерывным в области плоскости XY, которая содержит точку с координатами x = 1, y = 3.

Но f (x, y) = - y - аффинная функция, которая непрерывна в области действительных чисел и существует во всем диапазоне действительных чисел.

Поэтому можно сделать вывод , что Р (х, у) непрерывна в R ² , поэтому теорема гарантирует существование по меньшей мере , одного решения.

Зная это, необходимо оценить, уникально ли решение или, наоборот, их больше одного. Для этого необходимо вычислить частную производную f по переменной y:

Тогда g (x, y) = -1, которая является постоянной функцией, которая также определена для всех R ² и также является там непрерывной. Отсюда следует, что теорема существования и единственности гарантирует, что эта задача с начальным значением действительно имеет единственное решение, хотя и не сообщает нам, что это такое.

- Пример 2

Рассмотрим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием:

y '(x) = 2√y; и (0) = 0.

Есть ли решение y (x) этой проблемы? Если да, то определите, один или несколько.

Ответить

Рассмотрим функцию f (x, y) = 2√y. Функция f определена только для y≥0, поскольку мы знаем, что отрицательное число не имеет действительного корня. Кроме того, Р (х, у) непрерывна в верхней полуплоскости R ² , включая оси X, поэтому теорема существования и единственности гарантий по крайней мере , одно решение в этом регионе.

Теперь начальное условие x = 0, y = 0 находится на краю области решения. Затем берем частную производную f (x, y) по y:

∂f / ∂y = 1 / √y

В этом случае функция не определена для y = 0, где именно находится начальное условие.

Что говорит нам теорема? Это говорит нам, что, хотя мы знаем, что существует по крайней мере одно решение в верхней полуплоскости оси X, включая ось X, поскольку условие уникальности не выполняется, нет никакой гарантии, что будет единственное решение.

Это означает, что может быть одно или несколько решений в области непрерывности f (x, y). И, как всегда, теорема не говорит нам, какими они могли быть.

Решенные упражнения

- Упражнение 1

Решите задачу Коши из примера 1:

у '(х) = - у; с y (1) = 3.

Найдите функцию y (x), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальному условию.

Решение

В примере 1 было определено, что эта проблема имеет решение и к тому же уникальна. Чтобы найти решение, первое, что нужно отметить, это то, что это дифференциальное уравнение первой степени разделимых переменных, которое записывается следующим образом:

Разделение между и в обоих членах для разделения имеющихся переменных:

Неопределенный интеграл применяется к обоим членам:

Решая неопределенные интегралы, мы имеем:

где C - постоянная интегрирования, которая определяется начальным условием:

Подставив значение C и переставив его, остается:

Применяя следующее свойство логарифмов:

Вышеупомянутое выражение можно переписать так:

Экспоненциальная функция с основанием e в обоих членах применяется для получения:

у / 3 = е ^{(1 - х)}

Что эквивалентно:

y = 3e e ^-x

Это единственное решение уравнения y '= -y при y (1) = 3. График этого решения показан на рисунке 1.

- Упражнение 2.

Найдите два решения проблемы, поставленной в примере 2:

у '(х) = 2√ (у); и (0) = 0.

Решение

Это также уравнение разделимых переменных, которое в дифференциальной форме выглядит так:

dy / √ (y) = 2 dx

Остается принять неопределенный интеграл в обоих членах:

2 √ (у) = 2 х + С

Поскольку мы знаем, что y≥0 в области решения, мы имеем:

у = (х + С) ²

Но поскольку должно выполняться начальное условие x = 0, y = 0, то константа C равна нулю и остается следующее решение:

у (х) = х ² .

Но это решение не единственное, функция y (x) = 0 также является решением поставленной задачи. Теорема существования и единственности, примененная к этой проблеме в примере 2, уже предсказывала, что может быть более одного решения.

Ссылки

1. Коддингтон, граф А.; Левинсон, Норман (1955), Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, Нью-Йорк: McGraw-Hill.
2. Энциклопедия математики. Теорема Коши-Липшица. Получено с: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des приближения, последовательные aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. Т. 116, 1894 г., стр. 454–457. Получено с: gallica.bnf.fr.
4. Wikipedia. Метод последовательных приближений Пикара. Получено с: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Теорема Пикара-Линделёфа. Получено с: es.wikipedia.com.
6. Зилл, Д. 1986. Элементарные дифференциальные уравнения с приложениями, Прентис Холл.