ОРТОЭДР: ФОРМУЛЫ, ПЛОЩАДЬ, ОБЪЕМ, ДИАГОНАЛЬ, ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2025

Orthohedron представляет собой объемный или трехмерный геометрическая фигура , которая характеризуется тем , что шесть прямоугольных граней, так что противоположные грани находятся в параллельных плоскостях и являются одинаковыми или конгруэнтными прямоугольниками. С другой стороны, грани, смежные с данной гранью, находятся в плоскостях, перпендикулярных плоскости исходной грани.

Ортоэдр также можно рассматривать как ортогональную призму с прямоугольным основанием, в которой двугранные углы, образованные плоскостями двух граней, примыкающих к общему ребру, составляют 90º. Двугранный угол между двумя гранями измеряется на пересечении граней с общей для них перпендикулярной плоскостью.

Рисунок 1. Ортоэдр. Источник: Ф. Сапата с Geogebra.

Точно так же ортоэдр - это прямоугольный параллелепипед, поскольку именно так параллелепипед определяется как объемная фигура из шести граней, параллельных два на два.

В любом параллелепипеде грани являются параллелограммами, но в прямоугольном параллелепипеде грани должны быть прямоугольными.

Части ортоэдра

Части многогранника, как и ортоэдр, следующие:

-Аристас

-Vertices

-Лица

Угол между двумя ребрами грани ортоэдра совпадает с двугранным углом, образованным двумя другими его гранями, примыкающими к каждому из ребер, образуя прямой угол. Следующее изображение поясняет каждую концепцию:

Рисунок 2. Части ортоэдра. Источник: Ф. Сапата с Geogebra.

-Всего у ортоэдра 6 граней, 12 ребер и 8 вершин.

-Угол между любыми двумя краями - прямой угол.

- Двугранный угол между любыми двумя гранями также правильный.

-В каждой грани по четыре вершины и в каждой вершине по три взаимно ортогональные грани.

Формулы ортоэдра

Площадь

Поверхность или площадь ортоэдра - это сумма площадей его граней.

Если три ребра, которые встречаются в вершине, имеют размеры a, b и c, как показано на рисунке 3, то передняя грань имеет площадь c⋅b, а нижняя грань также имеет площадь c⋅b.

Тогда две боковые грани имеют площадь a⋅b каждая. И наконец, грани пола и потолка имеют площадь по tienenc каждая.

Рис. 3. Ортоэдр размеров a, b, c. Внутренняя диагональ D и внешняя диагональ d.

Сложение площади всех граней дает:

Взяв общий фактор и упорядочив термины:

объем

Если представить себе ортоэдр как призму, то его объем рассчитывается следующим образом:

В этом случае за прямоугольное основание принимается пол с размерами c и a, поэтому площадь основания равна c⋅a.

Высота определяется длиной b ребер, ортогональных граням сторон a и c.

Умножение площади основания (a⋅c) на высоту b дает объем V ортоэдра:

Внутренняя диагональ

В ортоэдре есть два вида диагоналей: внешние диагонали и внутренние диагонали.

Внешние диагонали расположены на прямоугольных гранях, а внутренние диагонали - это сегменты, соединяющие две противоположные вершины, которые понимаются противоположными вершинами, которые не имеют общих ребер.

В ортоэдре четыре внутренних диагонали одинаковой меры. Длину внутренних диагоналей можно получить, применив теорему Пифагора для прямоугольных треугольников.

Длина d внешней диагонали грани перекрытия ортоэдра удовлетворяет соотношению Пифагора:

г ² = а ² + с ²

Точно так же внутренняя диагональ меры D удовлетворяет соотношению Пифагора:

Д ² = д ² + Ь ² .

Комбинируя два предыдущих выражения, мы получаем:

D ² знак равно a ² + c ² + b ² .

Наконец, длина любой из внутренних диагоналей ортоэдра определяется по следующей формуле:

D = √ (a ² + b ² + c ² ).

Примеры

- Пример 1

Каменщик строит резервуар в форме ортоэдра, внутренние размеры которого: 6 м х 4 м в основании и 2 м в высоту. Спрашивает:

а) Определите внутреннюю поверхность резервуара, если он полностью открыт сверху.

б) Рассчитайте объем внутреннего пространства резервуара.

в) Найдите длину внутренней диагонали.

г) Какова вместимость бака в литрах?

Решение для

Примем размеры прямоугольного основания a = 4 м и c = 6 м, а высоту b = 2 м.

Площадь ортоэдра с заданными размерами определяется следующим соотношением:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 м⋅2 м + 2 м⋅6 м + 6 м⋅4 м)

То есть:

A = 2⋅ (8 м ² + 12 м ² + 24 м ² ) = 2⋅ (44 м ² ) = 88 м ²

Предыдущий результат представляет собой площадь закрытого ортоэдра с заданными размерами, но поскольку это резервуар, полностью открытый в своей верхней части, для получения поверхности внутренних стенок резервуара необходимо вычесть площадь недостающей крышки, которая составляет:

c⋅a = 6 м 4 м = 24 м ² .

Наконец, внутренняя поверхность резервуара будет: S = 88 м ² - 24 м ² = 64 м ² .

Решение б

Внутренний объем резервуара определяется объемом ортоэдра внутренних размеров резервуара:

V = a⋅b⋅c = 4 м ⋅ 2 м ⋅ 6 м = 48 м ³ .

Решение c

Внутренняя диагональ восьмигранника с размерами внутренней части резервуара имеет длину D, определяемую по формуле:

√ (a ² + b ² + c ² ) = √ ((4 м) ² + (2 м) ² + (6 м) ² )

Выполняя указанные операции, мы имеем:

D = √ (16 м ² + 4 м ² + 36 м ² ) = √ (56 м ² ) = 2√ (14) м = 7,48 м.

Решение d

Чтобы рассчитать вместимость бака в литрах, необходимо знать, что объем кубического дециметра равен вместимости литра. Ранее объем был рассчитан в кубических метрах, но его необходимо преобразовать в кубические дециметры, а затем в литры:

V = 48 м ³ = 48 (10 дм) ³ = 4800 дм ³ = 4800 л

- Упражнение 2.

Стеклянный аквариум кубической формы со стороной 25 см. Определите площадь в м ² , объем в литрах и длину внутренней диагонали в см.

Рисунок 4. Стеклянный аквариум кубической формы.

Решение

Площадь рассчитывается по той же формуле ортоэдра, но с учетом того, что все размеры идентичны:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ a ² = 6⋅ (25 см) ² = 1250 см ²

Объем куба определяется как:

V = a ³ = (25 см) ³ = 15,625 см ³ = 15,625 (0,1 дм) ³ = 15,625 дм ³ = 15,625 л.

Длина D внутренней диагонали составляет:

D = √ (3a ² ) = 25√ (3) см = 43,30 см.

Ссылки

1. Ариас Дж. ГеоГебра: Призма. Получено с: youtube.com.
2. Calculation.cc. Упражнения и решаемые задачи площадей и объемов. Получено с: calculo.cc.
3. Сальвадор Р. Пирамида + ортоэдр с GEOGEBRA (IHM). Получено с: youtube.com
4. Вайсштейн, Эрик. «Ортоэдр». MathWorld. Wolfram Research.
5. Wikipedia. Ортоэдр Получено с: es.wikipedia.com