ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА: ИСТОРИЯ, СВОЙСТВА, КЛАССИФИКАЦИЯ, ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2025

Эти иррациональные числа являются те , чьими выражение имеет бесконечные цифры десятичных без повторяющегося узора, следовательно, не может быть получен из соотношения между любыми двумя целыми числами.

Среди наиболее известных иррациональных чисел:

Рисунок 1. Сверху вниз следующие иррациональные числа: пи, число Эйлера, золотое сечение и два квадратных корня. Источник: Pixabay.

Среди них, без сомнения, π (pi) является наиболее известным, но их гораздо больше. Все они принадлежат к набору действительных чисел, который представляет собой числовой набор, объединяющий рациональные и иррациональные числа.

Многоточие на рисунке 1 указывает на то, что десятичные дроби продолжаются бесконечно, а в обычных калькуляторах можно отобразить только некоторые из них.

Если мы посмотрим внимательно, всякий раз, когда мы производим частное между двумя целыми числами, мы получаем десятичную дробь с ограниченным числом цифр или, если нет, с бесконечными цифрами, в которых повторяется одна или несколько цифр. Что ж, с иррациональными числами этого не происходит.

История иррациональных чисел

Великий древний математик Пифагор, родившийся в 582 г. до н.э. на Самосе, Греция, основал пифагорейскую школу мысли и открыл знаменитую теорему, носящую его имя. Он у нас внизу слева (возможно, вавилоняне знали это задолго до этого).

Рис. 2. Теорема Пифагора применима к треугольнику со сторонами, равными 1. Источник: Pixabay / Wikimedia Commons.

Итак, когда Пифагор (или, возможно, его ученик) применил теорему к прямоугольному треугольнику со сторонами, равными 1, он нашел иррациональное число √2.

Он сделал это так:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

И он сразу понял, что это новое число не произошло из частного двух других натуральных чисел, известных в то время.

Поэтому он назвал это иррациональным, и это открытие вызвало у пифагорейцев большое беспокойство и недоумение.

Свойства иррациональных чисел

-The множество всех иррациональных чисел обозначается буквой I , а иногда Q * или Q ^C . Объединение иррациональных чисел I или Q * и рациональных чисел Q дает начало множеству действительных чисел R.

-С иррациональными числами можно выполнять известные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, расширение прав и других возможностей.

-Деление на 0 также не определено между иррациональными числами.

-Сумма и произведение иррациональных чисел не обязательно являются еще одним иррациональным числом. Например:

√2 х √8 = √16 = 4

И 4 - не иррациональное число.

-Однако сумма рационального числа плюс иррациональное число дает иррациональный результат. В этом случае:

1 + √2 = 2,41421356237…

- Произведение рационального числа, отличного от 0, на иррациональное число также иррационально. Давайте посмотрим на этот пример:

2 x √2 = 2,828427125…

-Инверсия иррационального числа приводит к другому иррациональному числу. Попробуем:

1 / √2 = 0,707106781…

1 / √3 = 0,577350269…

Эти числа интересны, потому что они также являются значениями некоторых тригонометрических соотношений известных углов. Большинство тригонометрических соотношений являются иррациональными числами, но есть исключения, такие как sin 30º = 0,5 = ½, что является рациональным.

-В сумме выполняются коммутативные и ассоциативные свойства. Если a и b - два иррациональных числа, это означает, что:

а + Ь = Ь + а.

И если c - другое иррациональное число, то:

(а + б) + с = а + (б + с).

-Дистрибутивность умножения по отношению к сложению - еще одно хорошо известное свойство, которое также верно и для иррациональных чисел. В таком случае:

а. (b + c) = ab + ac

-Иррациональное a имеет свою противоположность: -a. Когда они складываются, результат равен 0:

а + (- а) = 0

-Между двумя разными рациональными числами есть хотя бы одно иррациональное число.

Расположение иррационального числа на действительной прямой

Реальная линия - это горизонтальная линия, на которой расположены действительные числа, важной частью которых являются иррациональные числа.

Чтобы найти иррациональное число на действительной прямой в геометрической форме, мы можем использовать теорему Пифагора, линейку и циркуль.

В качестве примера мы собираемся разместить √5 на реальной прямой, для которой мы нарисуем прямоугольный треугольник со сторонами x = 2 и y = 1, как показано на рисунке:

Рисунок 3. Метод определения иррационального числа на действительной прямой. Источник: Ф. Сапата.

По теореме Пифагора гипотенуза такого треугольника равна:

с = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Теперь циркуль помещается в точку 0, где также находится одна из вершин прямоугольного треугольника. Кончик циркуля должен находиться в вершине A.

Нарисовывается дуга окружности, которая пересекает реальную линию. Поскольку расстояние между центром окружности и любой точкой на ней - это радиус, равный √5, точка пересечения также находится на расстоянии √5 от центра.

Из графика видно, что √5 находится в диапазоне от 2 до 2,5. Калькулятор дает нам приблизительное значение:

√5 = 2,236068

Итак, построив треугольник с соответствующими сторонами, можно найти другие иррациональные, например √7 и другие.

Классификация иррациональных чисел

Иррациональные числа делятся на две группы:

-Алгебраический

-Трансцендентальный или трансцендентный

Алгебраические числа

Алгебраические числа, которые могут быть или не быть иррациональными, являются решениями полиномиальных уравнений, общая форма которых такова:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +…. + а ₁ х + а _о = 0

Примером полиномиального уравнения является квадратное уравнение, подобное этому:

х ³ - 2х = 0

Легко показать, что иррациональное число √2 является одним из решений этого уравнения.

Трансцендентные числа

С другой стороны, трансцендентные числа, хотя они иррациональны, никогда не возникают как решение полиномиального уравнения.

Чаще всего в прикладной математике встречаются трансцендентные числа π из-за его связи с окружностью и числом e или числом Эйлера, которое является основанием натуральных логарифмов.

Упражнение

Серый квадрат помещается на черный квадрат в позиции, указанной на рисунке. Известно, что площадь черного квадрата составляет 64 см ² . Какова длина обоих квадратов?

Рисунок 4. Два квадрата, у которых мы хотим найти длины сторон. Источник: Ф. Сапата.

Ответить

Площадь квадрата со стороной L равна:

А = L ²

Так как черный квадрат имеет площадь 64 см ² , его сторона должна быть 8 см.

Это измерение совпадает с диагональю серого квадрата. Применяя теорему Пифагора к этой диагонали и помня, что стороны квадрата равны, мы получим:

8 ² = L _г ² + L _г ²

Где L _g - сторона серого квадрата.

Следовательно: 2L _g ² = 8 ²

Применяя квадратный корень к обеим частям равенства:

L _г = (8 / √2) см

Ссылки

1. Карена, М. 2019. Учебное пособие по довузовской математике. Национальный университет Литорала.
2. Фигера, Дж. 2000. Математика 9-е. Степень. CO-BO редакции.
3. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Прентис Холл.
4. Образовательный портал. Иррациональные числа и их свойства. Получено с: portaleducativo.net.
5. Wikipedia. Иррациональные числа. Получено с: es.wikipedia.org.