- История иррациональных чисел
- Свойства иррациональных чисел
- Расположение иррационального числа на действительной прямой
- Классификация иррациональных чисел
- Алгебраические числа
- Трансцендентные числа
- Упражнение
- Ответить
- Ссылки
Эти иррациональные числа являются те , чьими выражение имеет бесконечные цифры десятичных без повторяющегося узора, следовательно, не может быть получен из соотношения между любыми двумя целыми числами.
Среди наиболее известных иррациональных чисел:

Рисунок 1. Сверху вниз следующие иррациональные числа: пи, число Эйлера, золотое сечение и два квадратных корня. Источник: Pixabay.
Среди них, без сомнения, π (pi) является наиболее известным, но их гораздо больше. Все они принадлежат к набору действительных чисел, который представляет собой числовой набор, объединяющий рациональные и иррациональные числа.
Многоточие на рисунке 1 указывает на то, что десятичные дроби продолжаются бесконечно, а в обычных калькуляторах можно отобразить только некоторые из них.
Если мы посмотрим внимательно, всякий раз, когда мы производим частное между двумя целыми числами, мы получаем десятичную дробь с ограниченным числом цифр или, если нет, с бесконечными цифрами, в которых повторяется одна или несколько цифр. Что ж, с иррациональными числами этого не происходит.
История иррациональных чисел
Великий древний математик Пифагор, родившийся в 582 г. до н.э. на Самосе, Греция, основал пифагорейскую школу мысли и открыл знаменитую теорему, носящую его имя. Он у нас внизу слева (возможно, вавилоняне знали это задолго до этого).

Рис. 2. Теорема Пифагора применима к треугольнику со сторонами, равными 1. Источник: Pixabay / Wikimedia Commons.
Итак, когда Пифагор (или, возможно, его ученик) применил теорему к прямоугольному треугольнику со сторонами, равными 1, он нашел иррациональное число √2.
Он сделал это так:
c = √1 2 + 1 2 = √1 + 1 = √2
И он сразу понял, что это новое число не произошло из частного двух других натуральных чисел, известных в то время.
Поэтому он назвал это иррациональным, и это открытие вызвало у пифагорейцев большое беспокойство и недоумение.
Свойства иррациональных чисел
-The множество всех иррациональных чисел обозначается буквой I , а иногда Q * или Q C . Объединение иррациональных чисел I или Q * и рациональных чисел Q дает начало множеству действительных чисел R.
-С иррациональными числами можно выполнять известные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, расширение прав и других возможностей.
-Деление на 0 также не определено между иррациональными числами.
-Сумма и произведение иррациональных чисел не обязательно являются еще одним иррациональным числом. Например:
√2 х √8 = √16 = 4
И 4 - не иррациональное число.
-Однако сумма рационального числа плюс иррациональное число дает иррациональный результат. В этом случае:
1 + √2 = 2,41421356237…
- Произведение рационального числа, отличного от 0, на иррациональное число также иррационально. Давайте посмотрим на этот пример:
2 x √2 = 2,828427125…
-Инверсия иррационального числа приводит к другому иррациональному числу. Попробуем:
1 / √2 = 0,707106781…
1 / √3 = 0,577350269…
Эти числа интересны, потому что они также являются значениями некоторых тригонометрических соотношений известных углов. Большинство тригонометрических соотношений являются иррациональными числами, но есть исключения, такие как sin 30º = 0,5 = ½, что является рациональным.
-В сумме выполняются коммутативные и ассоциативные свойства. Если a и b - два иррациональных числа, это означает, что:
а + Ь = Ь + а.
И если c - другое иррациональное число, то:
(а + б) + с = а + (б + с).
-Дистрибутивность умножения по отношению к сложению - еще одно хорошо известное свойство, которое также верно и для иррациональных чисел. В таком случае:
а. (b + c) = ab + ac
-Иррациональное a имеет свою противоположность: -a. Когда они складываются, результат равен 0:
а + (- а) = 0
-Между двумя разными рациональными числами есть хотя бы одно иррациональное число.
Расположение иррационального числа на действительной прямой
Реальная линия - это горизонтальная линия, на которой расположены действительные числа, важной частью которых являются иррациональные числа.
Чтобы найти иррациональное число на действительной прямой в геометрической форме, мы можем использовать теорему Пифагора, линейку и циркуль.
В качестве примера мы собираемся разместить √5 на реальной прямой, для которой мы нарисуем прямоугольный треугольник со сторонами x = 2 и y = 1, как показано на рисунке:

Рисунок 3. Метод определения иррационального числа на действительной прямой. Источник: Ф. Сапата.
По теореме Пифагора гипотенуза такого треугольника равна:
с = √2 2 + 1 2 = √4 + 1 = √5
Теперь циркуль помещается в точку 0, где также находится одна из вершин прямоугольного треугольника. Кончик циркуля должен находиться в вершине A.
Нарисовывается дуга окружности, которая пересекает реальную линию. Поскольку расстояние между центром окружности и любой точкой на ней - это радиус, равный √5, точка пересечения также находится на расстоянии √5 от центра.
Из графика видно, что √5 находится в диапазоне от 2 до 2,5. Калькулятор дает нам приблизительное значение:
√5 = 2,236068
Итак, построив треугольник с соответствующими сторонами, можно найти другие иррациональные, например √7 и другие.
Классификация иррациональных чисел
Иррациональные числа делятся на две группы:
-Алгебраический
-Трансцендентальный или трансцендентный
Алгебраические числа
Алгебраические числа, которые могут быть или не быть иррациональными, являются решениями полиномиальных уравнений, общая форма которых такова:
a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 +…. + а 1 х + а о = 0
Примером полиномиального уравнения является квадратное уравнение, подобное этому:
х 3 - 2х = 0
Легко показать, что иррациональное число √2 является одним из решений этого уравнения.
Трансцендентные числа
С другой стороны, трансцендентные числа, хотя они иррациональны, никогда не возникают как решение полиномиального уравнения.
Чаще всего в прикладной математике встречаются трансцендентные числа π из-за его связи с окружностью и числом e или числом Эйлера, которое является основанием натуральных логарифмов.
Упражнение
Серый квадрат помещается на черный квадрат в позиции, указанной на рисунке. Известно, что площадь черного квадрата составляет 64 см 2 . Какова длина обоих квадратов?

Рисунок 4. Два квадрата, у которых мы хотим найти длины сторон. Источник: Ф. Сапата.
Ответить
Площадь квадрата со стороной L равна:
А = L 2
Так как черный квадрат имеет площадь 64 см 2 , его сторона должна быть 8 см.
Это измерение совпадает с диагональю серого квадрата. Применяя теорему Пифагора к этой диагонали и помня, что стороны квадрата равны, мы получим:
8 2 = L г 2 + L г 2
Где L g - сторона серого квадрата.
Следовательно: 2L g 2 = 8 2
Применяя квадратный корень к обеим частям равенства:
L г = (8 / √2) см
Ссылки
- Карена, М. 2019. Учебное пособие по довузовской математике. Национальный университет Литорала.
- Фигера, Дж. 2000. Математика 9-е. Степень. CO-BO редакции.
- Хименес, Р. 2008. Алгебра. Прентис Холл.
- Образовательный портал. Иррациональные числа и их свойства. Получено с: portaleducativo.net.
- Wikipedia. Иррациональные числа. Получено с: es.wikipedia.org.
