ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, ПРИЛОЖЕНИЯ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Основная теорема арифметических состояний , что любое натуральное число больше , чем 1 , может быть разложены как произведение простых чисел - некоторые из них могут повторяться - и эта форма является уникальной для этого числа, хотя порядок факторов может быть различным.

Напомним, что простое число p - это такое число, которое допускает в качестве положительных делителей только себя и 1. Следующие числа являются простыми числами: 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. Д., Поскольку существуют бесконечности. Число 1 не считается простым, так как у него только один делитель.

Рис. 1. Евклид (слева) доказал основную теорему арифметики в своей книге «Элементы» (350 г. до н.э.), а первое полное доказательство принадлежит Карлу Ф. Гауссу (1777-1855) (справа). Источник: Wikimedia Commons.

Со своей стороны, числа, которые не соответствуют вышеуказанному, называются составными числами, такими как 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 … Давайте возьмем, например, число 10, и сразу мы увидим, что его можно разложить как произведение 2 и 5:

10 = 2 × 5

И 2, и 5 являются простыми числами. Теорема утверждает, что это возможно для любого числа n:

Где p ₁ , p ₂ , p ₃ … p _r - простые числа, а k ₁ , k ₂ , k ₃ ,… k _r - натуральные числа. Таким образом, простые числа действуют как строительные блоки, из которых путем умножения строятся натуральные числа.

Доказательство основной теоремы арифметики

Мы начнем с того, что покажем, что каждое число можно разложить на простые множители. Позвольте быть натуральным числом n> 1, простым или составным.

Например, если n = 2, это может быть выражено как: 2 = 1 × 2, что является простым числом. Таким же образом выполните следующие числа:

3 = 1 × 3

4 = 2 × 2

5 = 1 × 5

6 = 2 × 3

7 = 1 × 7

8 = 2 × 2 × 2

Мы продолжаем так же, разлагая все натуральные числа, пока не достигнем числа n -1. Посмотрим, сможем ли мы это сделать с помощью следующего числа: n.

Если n простое, мы можем разложить его как n = 1 × n, но предположим, что n составное и имеет делитель d, логически меньший, чем n:

1 <d <п.

Если n / d = p ₁ , где p ₁ - простое число, то n записывается как:

п = p _1. d

Если d простое число, делать больше нечего, но если это не так, есть число n _2, которое является делителем d и меньше этого: n ₂ <d, поэтому d можно записать как произведение n ₂ на другое простое число p ₂ :

d = p ₂ n ₂

Что при замене исходного числа n даст:

п = р ₁ .p ₂ .n ₂

Теперь предположим, что n _{2 также} не является простым числом, и мы запишем его как произведение простого числа p ₃ на его делитель n ₃ , так что n ₃ <n ₂ <n ₁ <n:

n ₂ = p ₃ .n ₃ → n = p ₁ p ₂ p ₃ .n ₃

Повторяем эту процедуру конечное число раз, пока не получим:

n = p ₁ .p ₂ .p ₃ … p _r

Это означает, что можно разложить все целые числа от 2 до числа n как произведение простых чисел.

Единственность разложения на простые множители

Теперь проверим, что это разложение единственно, за исключением порядка множителей. Предположим, что n можно записать двумя способами:

n = p ₁ .p ₂ .p ₃ … p _r = q _1. q ₂ .q ₃ … ..q _s (при r ≤ s)

Конечно, q ₁ , q ₂ , q ₃ … тоже простые числа. Поскольку p ₁ делит (q _1. q ₂ .q ₃ … ..q _s ), то p ₁ равно одному из «q», не имеет значения, какой именно, поэтому мы можем сказать, что p ₁ = q ₁ . Разделим n на p ₁ и получим:

p ₂ .p ₃ … p _r = _. q ₂ .q ₃ … ..q _s

Повторяем процедуру, пока не поделим все на p _r , тогда получим:

1 = q _{r + 1} … q _s

Но невозможно прийти к q _{r + 1} … q _s = 1, когда r <s, только если r = s. Хотя, признавая, что r = s, также признается, что «p» и «q» одинаковы. Следовательно, разложение единственное.

Приложения

Как мы уже говорили ранее, простые числа представляют собой, если хотите, атомы чисел, их основные компоненты. Таким образом, основная теорема арифметики имеет множество приложений, наиболее очевидное из которых: мы можем легче работать с большими числами, если мы выразим их как произведение меньших чисел.

Таким же образом мы можем найти наибольшее общее кратное (НОК) и наибольший общий делитель (НОК), процедура, которая помогает нам легче складывать дроби, находить корни больших чисел или оперировать радикалами, рационализировать и решать прикладные задачи самого разнообразного характера.

Кроме того, простые числа чрезвычайно загадочны. В них еще не распознан паттерн, и невозможно узнать, какой из них будет следующим. Самый большой на данный момент был обнаружен компьютерами и состоит из 24 862 048 цифр, хотя новые простые числа каждый раз появляются все реже.

Простые числа в природе

Цикады, цикады или цикады, обитающие на северо-востоке Соединенных Штатов, появляются циклами по 13 или 17 лет. Оба они простые числа.

Таким образом, цикады избегают совпадения с хищниками или конкурентами, у которых есть другие периоды рождения, равно как и разные разновидности цикад не конкурируют друг с другом, поскольку они не совпадают в течение одного года.

Рис. 2. Цикада Magicicada на востоке США появляется каждые 13-17 лет. Источник: Pxfuel.

Простые числа и покупки в Интернете

Простые числа используются в криптографии, чтобы сохранить в тайне данные кредитной карты при совершении покупок через Интернет. Таким образом, данные о том, что покупатель попадает в магазин, не теряются и не попадают в руки недобросовестных людей.

Как? Данные на карточках кодируются числом N, которое может быть выражено как произведение простых чисел. Эти простые числа являются ключом к раскрытию данных, но они неизвестны широкой публике, их можно декодировать только в той сети, куда они направлены.

Разложение числа на множители - простая задача, если числа маленькие (см. Решенные упражнения), но в этом случае в качестве ключа используются простые числа из 100 цифр, которые при их умножении дают гораздо большие числа, детальное разложение которых связано с огромной задачей. .

Решенные упражнения

- Упражнение 1

Разбейте 1029 на простые множители.

Решение

1029 делится на 3. Это известно, потому что при сложении цифр сумма кратна 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Поскольку порядок множителей не влияет на произведение, мы можем начать с этого:

1029 3

343

1029 = 3 × 343

С другой стороны, 343 = 7 ³ , тогда:

1029 = 3 × 7 ³ = 3 × 7 × 7 × 7

А поскольку 3 и 7 - простые числа, это разложение 1029.

- Упражнение 2.

Разложите на множители трехчлен x ² + 42x + 432.

Решение

Трехчлен переписывается в виде (x + a). (x + b) и нам нужно найти такие значения a и b, что:

а + b = 42; ab = 432

Число 432 разлагается на простые множители, и оттуда методом проб и ошибок выбирается соответствующая комбинация, так что добавленные множители дают 42.

432 = 2 ⁴ × 3 ³ = 2 × 3 ³ × 2 ³ = 2 ⁴ × 3 ² × 3 =…

Отсюда есть несколько возможностей написать 432:

432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….

И все это можно найти, комбинируя произведения между основными множителями, но для решения предложенного упражнения единственная подходящая комбинация: 432 = 24 × 18, поскольку 24 + 18 = 42, тогда:

х ² + 42 х + 432 = (х + 24). (х +18)

Ссылки

1. Балдор, А. 1986. Теоретическая практическая арифметика. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
2. BBC World. Скрытый кодекс природы. Получено с: bbc.com.
3. Де Леон, Мануэль. Простые числа: хранители Интернета. Получено с: blogs.20minutos.es.
4. НАУ. Теория чисел I: основная теорема арифметики. Получено с: teoriadenumeros.wikidot.com.
5. Wikipedia. Основная теорема арифметики. Получено с: es.wikipedia.org.