- Какие размеры?
- Трехмерное пространство
- Четвертое измерение и время
- Координаты гиперкуба
- Разворачивание гиперкуба
- Ссылки
Гиперкуба представляет собой куб размерности п. Частный случай четырехмерного гиперкуба называется тессерактом. Гиперкуб или n-куб состоит из прямых отрезков одинаковой длины, ортогональных в своих вершинах.
Люди воспринимают трехмерное пространство: ширину, высоту и глубину, но мы не можем представить себе гиперкуб с размером больше 3.
Рис. 1. 0-куб - это точка, если эта точка простирается в направлении на расстояние a, образует 1-куб, если этот 1-куб простирается на расстояние a в ортогональном направлении, мы получаем 2-куб (от сторон x к a), если 2-куб простирается на расстояние a в ортогональном направлении, мы получаем 3-куб. Источник: Ф. Сапата.
В лучшем случае мы можем сделать его проекции в трехмерном пространстве, чтобы представить его, аналогично тому, как мы проецируем куб на плоскость для его представления.
В измерении 0 единственная фигура - это точка, поэтому 0-куб - это точка. 1-куб - это прямой отрезок, который образован перемещением точки в одном направлении на расстояние a.
Со своей стороны, 2-куб - это квадрат. Он построен путем смещения 1-куба (отрезка длины a) в направлении y, которое ортогонально направлению x, на расстояние a.
3-куб - это обычный куб. Он построен из квадрата путем перемещения его в третьем направлении (z), которое ортогонально направлениям x и y, на расстояние a.
Рис. 2. 4-куб (тессеракт) - это продолжение 3-куба в ортогональном направлении к трем условным пространственным направлениям. Источник: Ф. Сапата.
4-куб - это тессеракт, который построен из 3-куба, перемещающего его ортогонально, на расстояние а, в четвертое измерение (или четвертое направление), которое мы не можем воспринимать.
У тессеракта все прямые углы, у него 16 вершин, и все его ребра (всего 18) имеют одинаковую длину a.
Если длина ребер n-куба или гиперкуба размерности n равна 1, то это единичный гиперкуб, в котором самая длинная диагональ измеряет √n.
Рис. 3. n-куб получается из (n-1) -куба, ортогонально расширяющего его в следующем измерении. Источник: wikimedia commons.
Какие размеры?
Размеры - это степени свободы или возможные направления, в которых может двигаться объект.
В размере 0 нет возможности перемещать, и единственный возможный геометрический объект - это точка.
Измерение в евклидовом пространстве представлено ориентированной линией или осью, определяющей это измерение, называемой осью X. Разделение между двумя точками A и B - это евклидово расстояние:
d = √.
В двух измерениях пространство представлено двумя линиями, ориентированными ортогонально друг другу, называемыми осью X и осью Y.
Положение любой точки в этом двумерном пространстве задается парой декартовых координат (x, y), а расстояние между любыми двумя точками A и B будет:
d = √
Потому что это пространство, где выполняется геометрия Евклида.
Трехмерное пространство
Трехмерное пространство - это пространство, в котором мы движемся. У него три направления: ширина, высота и глубина.
В пустой комнате перпендикулярные углы задают эти три направления, и каждому из них мы можем сопоставить ось: X, Y, Z.
Это пространство также евклидово, и расстояние между двумя точками A и B рассчитывается следующим образом:
d = √
Люди не могут воспринимать более трех пространственных (или евклидовых) измерений.
Однако со строго математической точки зрения можно определить n-мерное евклидово пространство.
В этом пространстве точка имеет координаты: (x1, x2, x3,… .., xn), а расстояние между двумя точками равно:
d = √.
Четвертое измерение и время
Действительно, в теории относительности время рассматривается как еще одно измерение, и с ним связана координата.
Но следует уточнить, что эта координата, связанная со временем, является мнимым числом. Следовательно, разделение двух точек или событий в пространстве-времени не является евклидовым, а скорее следует метрике Лоренца.
Четырехмерный гиперкуб (тессеракт) не живет в пространстве-времени, он принадлежит четырехмерному евклидову гиперпространству.
Рис. 4. Трехмерная проекция четырехмерного гиперкуба при простом вращении вокруг плоскости, которая разделяет фигуру спереди налево, сзади направо и сверху вниз. Источник: Wikimedia Commons.
Координаты гиперкуба
Координаты вершин n-куба с центром в начале координат получаются путем выполнения всех возможных перестановок следующего выражения:
(а / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)
Где а - длина края.
-The объем из п-куба ребра а является: (а / 2) п (2 л ) = а п .
-Самая длинная диагональ - это расстояние между противоположными вершинами.
-Следующие противоположные вершины в квадрате : (-1, -1) и (+1, +1).
-И в кубе : (-1, -1, -1) и (+1, +1, +1).
-Самая длинная диагональ n-куба измеряет:
d = √ = √ = 2√n
В этом случае сторона принималась равной a = 2. Для n-куба стороны к любому это будет:
d = a√n.
-Тессеракт имеет каждую из 16 вершин, соединенных с четырьмя ребрами. На следующем рисунке показано, как вершины соединяются в тессеракте.
Рис. 5. Показаны 16 вершин четырехмерного гиперкуба и то, как они связаны. Источник: Wikimedia Commons.
Разворачивание гиперкуба
Правильную геометрическую фигуру, например многогранник, можно разложить на несколько фигур меньшей размерности.
В случае 2-куба (квадрата) его можно разделить на четыре сегмента, то есть на четыре 1-куба.
Подобным образом 3-кубик можно развернуть на шесть 2-кубов.
Рисунок 6. n-куб можно развернуть на несколько (n-1) -кубов. Источник: Wikimedia Commons.
4-куб (тессеракт) можно развернуть на восемь 3-кубов.
Следующая анимация показывает развертывание тессеракта.
Рис. 7. Четырехмерный гиперкуб можно развернуть в восемь трехмерных кубов. Источник: Wikimedia Commons.
Рис. 8. Трехмерная проекция четырехмерного гиперкуба, совершающего двойное вращение вокруг двух ортогональных плоскостей. Источник: Wikimedia Commons.
Ссылки
- Научная культура. Гиперкуб, визуализирующий четвертое измерение. Получено с: culturacientifica.com
- Epsilons. Четырехмерный гиперкуб или тессеракт. Получено с: epsilones.com
- Перес Р., Агилера А. Метод получения тессеракта путем построения гиперкуба (4D). Получено с: researchgate.net
- Wikibooks. Математика, Многогранники, Гиперкубы. Получено с: es.wikibooks.org
- Wikipedia. Гиперкуб. Получено с: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Тессеракт. Получено с: en.wikipedia.com