ГЕПТАДЕКАГОН: СВОЙСТВА, ДИАГОНАЛИ, ПЕРИМЕТР, ПЛОЩАДЬ - МАТЕМАТИКА - 2025

Правильный семнадцатиугольник является правильный многоугольник с 17 сторонами и 17 вершин. Его построение можно выполнить в евклидовом стиле, то есть используя только линейку и циркуль. Великий математический гений Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), которому едва исполнилось 18 лет, нашел способ его постройки в 1796 году.

По-видимому, Гаусс всегда был очень склонен к этой геометрической фигуре, до такой степени, что с того дня, как он открыл ее конструкцию, решил стать математиком. Также говорят, что он хотел, чтобы на его надгробии был выгравирован гептадекагон.

Рис. 1. Гептадекагон - это правильный многоугольник с 17 сторонами и 17 вершинами. Источник: Ф. Сапата.

Гаусс также нашел формулу для определения того, какие правильные многоугольники можно построить с помощью линейки и циркуля, поскольку некоторые из них не имеют точной евклидовой конструкции.

Характеристики гептадекагона

Что касается его характеристик, как и любого многоугольника, важна сумма его внутренних углов. В правильном многоугольнике с n сторонами сумма определяется как:

Эта сумма, выраженная в радианах, выглядит так:

Из приведенных выше формул легко вывести, что каждый внутренний угол семиугольника имеет точную меру α, определяемую следующим образом:

Отсюда следует, что внутренний угол примерно равен:

Диагонали и периметр

Диагонали и периметр - другие важные аспекты. В любом многоугольнике количество диагоналей равно:

D = n (n - 3) / 2, а в случае семиугольника, поскольку n = 17, тогда D = 119 диагоналей.

С другой стороны, если длина каждой стороны семиугольника известна, то периметр правильного семиугольника определяется простым добавлением 17-кратной длины, что эквивалентно 17-кратной длине d каждой стороны:

P = 17 дней

Периметр гептадекагона

Иногда известен только радиус r гептадекагона, поэтому для этого случая необходимо разработать формулу.

С этой целью вводится понятие апофемы. Апофема - это отрезок, который идет от центра правильного многоугольника до середины одной стороны. Апофема относительно одной стороны перпендикулярна этой стороне (см. Рисунок 2).

Рис. 2. Показаны части правильного многоугольника радиуса r и его апофема. (Собственная разработка)

Кроме того, апофема - это биссектриса угла с центральной вершиной и сторонами на двух последовательных вершинах многоугольника, что позволяет найти связь между радиусом r и стороной d.

Если центральный угол DOE называется β и с учетом того, что апофема OJ является биссектрисой, мы имеем EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), из которого мы имеем соотношение для нахождения длины d стороны многоугольника известны его радиус r и центральный угол β:

d = 2 r сен (β / 2)

В случае гептадекагона β = 360º / 17 имеем:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 r

В итоге получается формула для периметра семиугольника, известного его радиуса:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6,2475 r

Периметр семиугольника близок к периметру окружности, которая его описывает, но его величина меньше, то есть периметр описанной окружности равен Pcir = 2π r ≈ 6,2832 r.

Площадь

Чтобы определить площадь семиугольника, мы обратимся к рисунку 2, на котором показаны стороны и апофема правильного многоугольника с n сторонами. На этом рисунке треугольник EOD имеет площадь, равную основанию d (сторона многоугольника), умноженному на высоту a (апофема многоугольника), деленную на 2:

Площадь EOD = (dxa) / 2

Итак, зная апофему a семиугольника и сторону d того же самого, его площадь равна:

Площадь семиугольника = (17/2) (dxa)

Площадь с учетом стороны

Чтобы получить формулу для площади гептадекагона, зная длину его семнадцати сторон, необходимо получить соотношение между длиной апофемы a и стороной d.

Со ссылкой на рисунок 2 получается следующее тригонометрическое соотношение:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, где β - центральный угол DOE. Таким образом, апофему a можно вычислить, если известны длина d стороны многоугольника и центральный угол β:

а = (d / 2) Котан (β / 2)

Если теперь подставить это выражение вместо апофемы, в формуле для площади гептадекагона, полученной в предыдущем разделе, мы имеем:

Площадь гептадекагона = (17/4) (d ² ) Котан (β / 2)

Поскольку β = 360º / 17 для семиугольника, мы наконец получили желаемую формулу:

Площадь гептадекагона = (17/4) (d ² ) Котан (180º / 17)

Площадь с учетом радиуса

В предыдущих разделах была обнаружена связь между стороной d правильного многоугольника и его радиусом r, причем эта связь была следующей:

d = 2 r сен (β / 2)

Это выражение для d вставляется в выражение, полученное в предыдущем разделе для области. Если сделать соответствующие замены и упрощения, получится формула, позволяющая рассчитать площадь гептадекагона:

Площадь семиугольника = (17/2) (r ² ) Sen (β) = (17/2) (r ² ) Sen (360º / 17)

Примерное выражение для площади:

Площадь семиугольника = 3,0706 (r ² )

Как и ожидалось, эта площадь немного меньше, чем площадь круга, описывающего семиугольник A _circ = π r ² ≈ 3,1416 r ² . Если быть точным, это на 2% меньше, чем у описанной окружности.

Примеры

Пример 1

Чтобы ответить на вопрос, необходимо запомнить соотношение между стороной и радиусом правильного n-стороннего многоугольника:

d = 2 r Sen (180º / n)

Для гептадекагона n = 17, так что d = 0,3675 r, то есть радиус гептадекагона равен r = 2 см / 0,3675 = 5,4423 см или

Диаметр 10,8844 см.

Периметр двухсантиметрового бокового семиугольника равен P = 17 * 2 см = 34 см.

Пример 2

Мы должны обратиться к формуле, показанной в предыдущем разделе, которая позволяет нам найти площадь семиугольника, когда длина его стороны равна d:

Площадь семиугольника = (17/4) (d ² ) / Tan (180º / 17)

Подставляя d = 2 см в предыдущую формулу, получаем:

Площадь = 90,94 см

Ссылки

1. CEA (2003). Элементы геометрии: с упражнениями и геометрией компаса. Медельинский университет.
2. Кампос, Ф., Сереседо, Ф.Дж. (2014). Математика 2. Grupo Editor Patria.
3. Фрид, К. (2007). Откройте для себя полигоны. Компания Benchmark Education.
4. Хендрик, В. (2013). Обобщенные многоугольники. Birkhäuser.
5. Айгер. (SF). Математика Первый семестр Такана. Айгер.
6. Геометрия младшего. (2014). Полигоны. Lulu Press, Inc.
7. Миллер, Херен и Хорнсби. (2006). Математика: рассуждение и приложения (десятое издание). Pearson Education.
8. Патиньо, М. (2006). Математика 5. Редакция Прогресо.
9. Сада, М. 17-гранный правильный многоугольник с линейкой и циркулем. Получено с: geogebra.org
10. Wikipedia. Правильный семнадцатиугольник. Получено с: es.wikipedia.com