ОДНОРОДНОСТЬ: СВОЙСТВА, ТИПЫ И ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2025

Дилатация является геометрическим изменением в плоскости , которая, с фиксированной точкой называется центр (O), расстояния умножается на общий множитель. Таким образом, каждая точка P соответствует другой точке P 'продукта преобразования, и они выровнены с точкой O.

Итак, гомотезия - это соответствие между двумя геометрическими фигурами, где преобразованные точки называются гомотетическими, и они выровнены по фиксированной точке и с сегментами, параллельными друг другу.

Homothecy

Однородность - это преобразование, не имеющее конгруэнтного изображения, потому что из фигуры будет получена одна или несколько фигур большего или меньшего размера, чем исходная фигура; иными словами, гомотетия превращает многоугольник в другой подобный.

Для выполнения гомотезии точка к точке и линия к линии должны соответствовать, так что пары гомологичных точек выровнены с третьей фиксированной точкой, которая является центром гомотезии.

Точно так же пары соединяющих их линий должны быть параллельны. Связь между такими сегментами - это постоянная величина, называемая коэффициентом гомотичности (k); таким образом, что гомотезию можно определить как:

Чтобы осуществить такое преобразование, мы начнем с выбора произвольной точки, которая будет центром гомотезии.

С этого момента для каждой вершины трансформируемой фигуры рисуются отрезки линии. Масштаб, в котором воспроизводится новая фигура, задается коэффициентом гомотетности (k).

свойства

Одно из основных свойств гомотезии состоит в том, что по гомотетической причине (k) все гомотетические фигуры подобны. Среди других выдающихся свойств следующие:

- Центр гомотеций (О) - единственная двойная точка, которая трансформируется сама в себя; то есть не меняется.

- Линии, проходящие через центр, трансформируются сами в себя (они двойные), но точки, составляющие его, не двойные.

- Линии, не проходящие через центр, трансформируются в параллельные линии; таким образом, углы гомотезии остаются прежними.

- Изображение отрезка при гомотичности центра O и отношения k является отрезком, параллельным этому и имеющим k-кратную длину. Например, как видно на следующем изображении, сегмент AB по гомотичности приведет к другому сегменту A'B ', так что AB будет параллельна A'B', а k будет:

- Гомотетические углы совпадают; то есть имеют одинаковую меру. Следовательно, изображение угла - это угол с одинаковой амплитудой.

С другой стороны, гомотезия изменяется в зависимости от значения ее отношения (k), и могут иметь место следующие случаи:

- Если константа k = 1, все точки фиксируются, потому что они трансформируются сами. Таким образом, гомотетическая фигура совпадает с исходной и преобразование назовем функцией тождества.

- Если k ≠ 1, единственной неподвижной точкой будет центр гомотетики (O).

- Если k = -1, гомотезия становится центральной симметрией (C); т.е. происходит поворот вокруг C, на угол 180 ^или .

- Если k> 1, размер преобразованной фигуры будет больше размера оригинала.

- Если 0 <k <1, размер преобразованной фигуры будет меньше исходной.

- Если -1 <k <0, размер преобразованной фигуры будет меньше, и она будет повернута относительно оригинала.

- Если k <-1, размер преобразованной фигуры будет больше, и она будет повернута относительно оригинала.

Типы

Гомотезию также можно разделить на два типа в зависимости от значения ее отношения (k):

Прямая гомотия

Это происходит, если константа k> 0; то есть гомотетические точки находятся по одну сторону по отношению к центру:

Коэффициент пропорциональности или коэффициент подобия между прямыми гомотетическими фигурами всегда будет положительным.

Обратная гомотезия

Это происходит, если константа k <0; то есть начальные точки и их гомотетики расположены на противоположных концах относительно центра гомотетики, но совмещены с ним. Центр будет между двумя фигурами:

Коэффициент пропорциональности или коэффициент подобия между обратными гомотетическими фигурами всегда будет отрицательным.

Сочинение

При последовательном выполнении нескольких движений до получения фигуры, равной исходной, возникает композиция движений. Композиция из нескольких частей - это тоже движение.

Композиция между двумя гомотиями приводит к новой гомотезии; то есть существует произведение гомотетий, в котором центр будет выровнен с центром двух исходных преобразований, а отношение (k) является произведением двух соотношений.

Таким образом, в композиции двух гомотезий H ₁ (O ₁ , k ₁ ) и H ₂ (O ₂ , k ₂ ) умножение их соотношений: k ₁ xk ₂ = 1 приведет к гомотезии отношения k ₃ = K ₁ XK ₂ . Центр этой новой гомотеции (O ₃ ) будет расположен на линии O ₁ O ₂ .

Homothecia соответствует плоскому и необратимому изменению; Если применить две гомотетии с одинаковым центром и соотношением, но с другим знаком, будет получена исходная фигура.

Примеры

Первый пример

Примените гомотезию к данному многоугольнику с центром (O), расположенному на расстоянии 5 см от точки A и имеющему отношение k = 0,7.

Решение

Любая точка выбирается в качестве центра гомотезии, и из этой точки через вершины фигуры проводятся лучи:

Расстояние от центра (O) до точки A составляет OA = 5; С его помощью можно определить расстояние до одной из гомотетических точек (OA '), зная также, что k = 0,7:

OA '= kx OA.

OA '= 0,7 х 5 = 3,5.

Этот процесс можно выполнить для каждой вершины, или можно нарисовать гомотетический многоугольник, помня, что два многоугольника имеют параллельные стороны:

В итоге преобразование выглядит так:

Второй пример

Примените гомотезию к данному многоугольнику с центром (O), расположенным на расстоянии 8,5 см от точки C и имеющим отношение y k = -2.

Решение

Расстояние от центра (O) до точки C составляет OC = 8,5; С помощью этих данных можно определить расстояние до одной из гомотетических точек (OC '), зная также, что k = -2:

OC '= kx OC.

ОС '= -2 х 8,5 = -17

После рисования отрезков вершин преобразованного многоугольника получаем, что начальные точки и их гомотетики расположены на противоположных концах относительно центра:

Ссылки

1. Альваро Рендон, АР (2004). Технический рисунок: блокнот деятельности.
2. Антонио Альварес де ла Роса, JL (2002). Сродство, гомологии и гомотезия.
3. Баер, Р. (2012). Линейная алгебра и проективная геометрия. Курьерская корпорация.
4. Хеберт, Ю. (1980). Общая математика, вероятности и статистика.
5. Meserve, BE (2014). Основные понятия геометрии. Курьерская корпорация.
6. Начбин, Л. (1980). Введение в алгебру. Реверте.