ЧТО ТАКОЕ КОСЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ? (С УПРАЖНЕНИЯМИ) - МАТЕМАТИКА - 2024

В Наклонные треугольники те треугольники, которые не являются прямоугольниками. Другими словами, треугольники, у которых ни один из углов не является прямым (их размер равен 90º).

Поскольку у них нет прямых углов, теорема Пифагора не может быть применена к этим треугольникам.

Следовательно, чтобы знать данные в наклонном треугольнике, необходимо использовать другие формулы.

Формулы, необходимые для решения наклонного треугольника, - это так называемые законы синусов и косинусов, которые будут описаны позже.

В дополнение к этим законам всегда можно использовать тот факт, что сумма внутренних углов треугольника равна 180º.

Наклонные треугольники

Как было сказано в начале, наклонный треугольник - это треугольник, у которого ни один из углов не равен 90º.

Задача нахождения длин сторон наклонного треугольника, а также нахождение меры его углов называется «решением наклонных треугольников».

Важным фактом при работе с треугольниками является то, что сумма трех внутренних углов треугольника равна 180º. Это общий результат, поэтому его можно применить и к наклонным треугольникам.

Законы синусов и косинусов

Дан треугольник ABC со сторонами длиной «a», «b» и «c»:

- Закон синусов гласит, что a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), где A, B и C - углы, противоположные «a», «b» и «c». "Соответственно.

- Закон косинусов гласит: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). В равной степени можно использовать следующие формулы:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) или a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Используя эти формулы, можно рассчитать данные для наклонного треугольника.

упражнения

Ниже приведены некоторые упражнения, в которых необходимо найти недостающие данные для данных треугольников на основе определенных предоставленных данных.

Первое упражнение

Для треугольника ABC, такого что A = 45º, B = 60º и a = 12 см, вычислите другие данные треугольника.

Решение

Учитывая, что сумма внутренних углов треугольника равна 180º, мы получаем, что

C = 180º-45º-60º = 75º.

Три угла уже известны. Затем по закону синусов вычисляются две недостающие стороны.

Возникают следующие уравнения: 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Из первого равенства мы можем решить для «b» и получить, что

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14,696 см.

Мы также можем решить относительно «c» и получить, что

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16,392 см.

Второе упражнение

Для треугольника ABC, такого что A = 60º, C = 75º и b = 10 см, вычислите другие данные треугольника.

Решение

Как и в предыдущем упражнении, B = 180º-60º-75º = 45º. Кроме того, используя закон синусов, мы получаем, что a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), из чего получается, что a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12,247 см и c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13,660 см.

Третье упражнение

Дан треугольник ABC такой, что a = 10 см, b = 15 см и C = 80º, вычислите другие данные треугольника.

Решение

В этом упражнении известен только один угол, поэтому его нельзя начинать, как в предыдущих двух упражнениях. Кроме того, нельзя применить закон синусов, потому что никакое уравнение не может быть решено.

Поэтому переходим к применению закона косинусов. Вот тогда

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 см,

так что c ≈ 16,51 см. Теперь, зная 3 стороны, используется закон синусов и получается, что

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51 см / sin (80º).

Следовательно, решение для B приводит к sin (B) = 15 * sin (80º) / 16,51 ≈ 0,894, что означает, что B ≈ 63,38º.

Теперь мы можем получить, что A = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.

Четвертое упражнение

Стороны наклонного треугольника равны a = 5 см, b = 3 см и c = 7 см. Найдите углы треугольника.

Решение

Опять же, закон синусов не может быть применен напрямую, поскольку никакое уравнение не могло бы служить для получения значения углов.

Используя закон косинуса, мы имеем c² = a² + b² - 2ab cos (C), из которого при вычислении получаем cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 и, следовательно, C = 120º.

Теперь, если мы можем применить закон синусов и таким образом получить 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120º), откуда мы можем решить для B и получить, что sin (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, так что B = 21,79º.

Наконец, последний угол вычисляется с использованием того, что A = 180º-120º-21,79º = 38,21º.

Ссылки

1. Ландаверде, Ф. д. (1997). Геометрия (Перепечатка ред.). Прогресс.
2. Лик, Д. (2006). Треугольники (иллюстрировано ред.). Хайнеманн-Рейнтри.
3. Перес, CD (2006). Предварительный расчет. Pearson Education.
4. Руис, Б., и Баррантес, Х. (2006). Геометрии. CR-технология.
5. Салливан, М. (1997). Предварительный расчет. Pearson Education.
6. Салливан, М. (1997). Тригонометрия и аналитическая геометрия. Pearson Education.