СКАЛЕНОВЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ФОРМУЛА И ПЛОЩАДИ, РАСЧЕТ - МАТЕМАТИКА - 2024

Неравносторонним треугольник представляет собой многоугольник с трех сторон, все из которых имеют различные меры или длину; по этой причине он получил название scalene, что в переводе с латыни означает лазание.

Треугольники - это многоугольники, которые считаются простейшими в геометрии, потому что они состоят из трех сторон, трех углов и трех вершин. В случае разностороннего треугольника, поскольку все стороны различны, это означает, что его три угла будут такими же.

Характеристики разносторонних треугольников

Масштабные треугольники - это простые многоугольники, потому что ни одна из их сторон или углов не имеет одинаковой меры, в отличие от равнобедренных и равносторонних треугольников.

Поскольку все стороны и углы имеют разные размеры, эти треугольники считаются неправильными выпуклыми многоугольниками.

По амплитуде внутренних углов разносторонние треугольники классифицируются как:

• Правый прямоугольный треугольник : все стороны разные. Один из его углов прямой (90 ^или ), а другие острые и разной меры.
• Тупоугольный разносторонний треугольник : все стороны разные, один из углов тупой (> 90 ^или ).
• Чешуйчатый острый треугольник : все стороны разные. Все углы острые (<90 ^или ) разной меры.

Еще одна характеристика разносторонних треугольников состоит в том, что из-за несовпадения сторон и углов они не имеют оси симметрии.

Составные части

Медиана : это линия, которая начинается от середины одной стороны и достигает противоположной вершины. Три медианы встречаются в точке, называемой барицентром или центроидом.

Биссектриса : это луч, который делит каждый угол на два угла равной меры. Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая называется центром.

Биссектриса : это отрезок, перпендикулярный стороне треугольника, начало которой находится в середине. В треугольнике есть три биссектрисы, и они пересекаются в точке, называемой центром описанной окружности.

Высота : это линия, которая идет от вершины к противоположной стороне, а также эта линия перпендикулярна этой стороне. Все треугольники имеют три высоты, которые совпадают в точке, называемой ортоцентром.

Свойства

Скаленовые треугольники определяются или идентифицируются, потому что они имеют несколько свойств, которые представляют их, происходящие из теорем, предложенных великими математиками. Они есть:

Внутренние углы

Сумма внутренних углов всегда равна 180 ^° .

Сумма сторон

Сумма мер двух сторон всегда должна быть больше меры третьей стороны, a + b> c.

Несовместимые стороны

Все стороны разносторонних треугольников имеют разные размеры или длину; то есть они несовместимы.

Несоответствующие углы

Поскольку все стороны разностороннего треугольника разные, то и углы у него тоже будут. Однако сумма внутренних углов всегда будет равна 180 °, и в некоторых случаях один из углов может быть тупым или прямым, а в других - все углы будут острыми.

Высота, медиана, биссектриса и биссектриса не совпадают

Как и любой треугольник, разносторонняя линия состоит из нескольких линейных сегментов, таких как высота, медиана, биссектриса и биссектриса.

В треугольнике такого типа из-за особенностей сторон ни одна из этих прямых не может совпадать в одной.

Ортоцентр, центр масс, центр окружности и центр окружности не совпадают

Поскольку высота, медиана, биссектриса и биссектриса представлены разными отрезками прямых, в разностороннем треугольнике точки пересечения - ортоцентр, центр окружности и центр описанной окружности - будут находиться в разных точках (они не совпадают).

В зависимости от того, является ли треугольник острым, прямым или разносторонним, ортоцентр располагается по-разному:

к. Если треугольник острый, ортоцентр будет внутри треугольника.

б. Если треугольник правильный, то ортоцентр совпадет с вершиной правой стороны.

с. Если треугольник тупой, ортоцентр будет снаружи треугольника.

Относительная высота

Высота относительно сторон.

В случае разностороннего треугольника эти высоты будут иметь разные размеры. Каждый треугольник имеет три относительных высоты, и для их вычисления используется формула Герона.

Как рассчитать периметр?

Периметр многоугольника вычисляется путем сложения сторон.

Поскольку в этом случае разносторонний треугольник имеет все стороны с разными размерами, его периметр будет:

P = сторона a + сторона b + сторона c.

Как рассчитать площадь?

Площадь треугольников всегда рассчитывается по одной и той же формуле: умножение основания на высоту и деление на два:

Площадь = (база _* ч) ÷ 2

В некоторых случаях высота разностороннего треугольника неизвестна, но есть формула, предложенная математиком Хероном, для вычисления площади, зная размер трех сторон треугольника.

Куда:

• a, b и c обозначают стороны треугольника.
• sp, соответствует полупериметру треугольника, то есть половине периметра:

sp = (a + b + c) ÷ 2

Если у вас есть только мера двух сторон треугольника и угол, образованный между ними, площадь можно вычислить, применив тригонометрические соотношения. Итак, вам необходимо:

Площадь = (сторона _{* в} ) ÷ 2

Где высота (h) - произведение одной стороны и синуса противоположного угла. Например, для каждой стороны площадь будет:

• Площадь = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Площадь = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• Площадь = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Как рассчитать высоту?

Поскольку все стороны разностороннего треугольника разные, вычислить высоту с помощью теоремы Пифагора невозможно.

По формуле Герона, основанной на измерениях трех сторон треугольника, можно вычислить площадь.

Высоту можно очистить из общей формулы площади:

Сторона заменяется размером стороны a, b или c.

Другой способ рассчитать высоту, когда значение одного из углов известно, - это применить тригонометрические соотношения, где высота будет представлять собой катет треугольника.

Например, если известен угол напротив высоты, он будет определяться синусом:

Как рассчитать стороны?

Когда у вас есть размер двух сторон и угол между ними, можно определить третью сторону, применив теорему косинусов.

Например, в треугольнике AB отображается высота относительно сегмента AC. Таким образом треугольник делится на два прямоугольных.

Чтобы вычислить сторону c (отрезок AB), примените теорему Пифагора для каждого треугольника:

• Для синего треугольника имеем:

с ² = час ² + м ²

Поскольку m = b - n, подставляем:

с ² = h ² + b ² (b - n) ²

с ² знак равно h ² + b ² - 2bn + n ² .

• Для розового треугольника вам необходимо:

h ² = a ² - n ²

Он подставляется в предыдущее уравнение:

с ² = а ² - n ² + b ² - 2bn + n ²

c ² = a ² + b ² - 2 млрд.

Зная, что n = a _* cos C, оно подставляется в предыдущее уравнение и получается значение стороны c:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

По закону косинусов стороны могут быть рассчитаны как:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Бывают случаи, когда неизвестны размеры сторон треугольника, а скорее их высота и углы, образующиеся при вершинах. Для определения площади в этих случаях необходимо применять тригонометрические соотношения.

Зная угол одной из его вершин, опоры идентифицируются и используется соответствующее тригонометрическое соотношение:

Например, отрезок AB будет противоположным для угла C, но прилегающим к углу A. В зависимости от стороны или отрезка, соответствующих высоте, другая сторона очищается, чтобы получить это значение.

упражнения

Первое упражнение

Вычислите площадь и высоту разностороннего треугольника ABC, зная, что его стороны:

а = 8 см.

б = 12 см.

c = 16 см.

Решение

В качестве данных приведены размеры трех сторон разностороннего треугольника.

Поскольку значение высоты недоступно, площадь можно определить, применив формулу Герона.

Сначала рассчитывается полупериметр:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 см + 12 см + 16 см) ÷ 2

sp = 36 см ÷ 2

сп = 18 см.

Теперь значения подставляются в формулу Герона:

Зная площадь, можно вычислить высоту относительно стороны b. Из общей формулы, очищая ее, имеем:

Площадь = (сторона _{* в} ) ÷ 2

46, 47 см ² = (12 см _{* в} ) ÷ 2

h = (2 _* 46,47 см ² ) ÷ 12 см

h = 92,94 см ² ÷ 12 см

h = 7,75 см.

Второе упражнение

Дан разносторонний треугольник ABC, размеры которого:

• Отрезок AB = 25 м.
• Отрезок BC = 15 м.

В вершине B образуется угол 50º. Вычислите высоту относительно стороны c, периметра и площади этого треугольника.

Решение

В этом случае у нас есть измерения с двух сторон. Для определения высоты необходимо рассчитать размер третьей стороны.

Поскольку задан угол, противоположный данным сторонам, можно применить закон косинусов для определения меры стороны AC (b):

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

Куда:

a = BC = 15 м.

c = AB = 25 м.

b = AC.

В = 50 ^o .

Данные заменены:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b ² = (225) + (625) - (482 025)

б ² = 367,985

б = √367,985

b = 19,18 м.

Поскольку у нас уже есть значения трех сторон, рассчитывается периметр этого треугольника:

P = сторона a + сторона b + сторона c

P = 15 м + 25 м + 19, 18 м

P = 59,18 м

Теперь можно определить площадь, применив формулу Герона, но сначала нужно рассчитать полупериметр:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 м ÷ 2

sp = 29,59 м.

Размеры сторон и полупериметра подставляются в формулу Герона:

Наконец, зная площадь, можно вычислить высоту относительно стороны c. По общей формуле, очистив ее, вы должны:

Площадь = (сторона _{* в} ) ÷ 2

143,63 м ² = (25 м _* ч) ÷ 2

h = (2 _* 143,63 м ² ) ÷ 25 м

h = 287,3 м ² ÷ 25 м

h = 11,5 м.

Третье упражнение

В разностороннем треугольнике ABC сторона b равна 40 см, сторона c равна 22 см, а на вершине A образуется угол 90 ^или . Вычислите площадь этого треугольника.

Решение

В этом случае задаются размеры двух сторон разностороннего треугольника ABC, а также угол, который образуется в вершине A.

Чтобы определить площадь, нет необходимости вычислять размер стороны a, так как через тригонометрические соотношения угол используется для ее определения.

Поскольку угол, противоположный высоте, известен, он будет определяться произведением одной стороны и синуса угла.

Подставляя в формулу площади, получаем:

• Площадь = (сторона _{* в} ) ÷ 2
• ч = с _* грех А

Площадь = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Площадь = (40 см _* 22 см _* sin 90) ÷ 2

Площадь = (40 см _* 22 см _* 1) ÷ 2

Площадь = 880 см ² ÷ 2

Площадь = 440 см ² .

Ссылки

1. Альваро Рендон, АР (2004). Технический рисунок: блокнот деятельности.
2. Анхель Руис, HB (2006). Геометрии. CR технологии.
3. Ангел, AR (2007). Элементарная алгебра. Pearson Education,.
4. Балдор, А. (1941). Алгебра. Гавана: культура.
5. Барбоса, JL (2006). Плоская евклидова геометрия. Рио де Жанейро,.
6. Кокстер, Х. (1971). Основы геометрии. Мексика: Лимуса-Вили.
7. Дэниел С. Александер, GM (2014). Элементарная геометрия для студентов. Cengage Learning.
8. Harpe, P. d. (2000). Разделы геометрической теории групп. Издательство Чикагского университета.