ОСТРЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК: ХАРАКТЕРИСТИКИ И ВИДЫ - МАТЕМАТИКА - 2025

Эти острые треугольники являются те , чьи три внутренние углы острые углы; то есть размер каждого из этих углов составляет менее 90 ° градусов. Не имея прямого угла, мы получаем, что теорема Пифагора не выполняется для этой геометрической фигуры.

Следовательно, если мы хотим иметь какую-либо информацию о любой из его сторон или углов, необходимо использовать другие теоремы, которые позволяют нам иметь доступ к указанным данным. Мы можем использовать теорему синусов и теорему косинусов.

характеристики

Среди характеристик, которыми обладает эта геометрическая фигура, мы можем выделить те, которые даны тем простым фактом, что она является треугольником. Среди них:

- Треугольник - это многоугольник с тремя сторонами и тремя углами.

- Сумма трех его внутренних углов равна 180 °.

- Сумма двух его сторон всегда больше третьей.

В качестве примера рассмотрим следующий треугольник ABC. Обычно мы обозначаем его стороны строчной буквой, а углы - прописной, так что одна сторона и противоположный угол имеют одну и ту же букву.

Из уже приведенных характеристик мы знаем, что:

А + В + С = 180 °

a + b> c, a + c> b и b + c> a

Основная особенность, которая отличает этот тип треугольника от остальных, заключается в том, что, как мы уже упоминали, его внутренние углы острые; то есть размер каждого из его углов меньше 90 °.

Острые треугольники вместе с тупыми треугольниками (те, в которых один из углов имеет размер больше 90 °) являются частью набора косых треугольников. Этот набор состоит из треугольников, которые не являются прямыми углами.

Поскольку косые треугольники являются частью, мы должны уметь решать задачи, связанные с острыми треугольниками, мы должны использовать теорему синусов и теорему косинусов.

Теорема синуса

Теорема синусов говорит нам, что отношение одной стороны к синусу ее противоположного угла равно удвоенному радиусу круга, образованного тремя вершинами указанного треугольника. То есть:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

Теорема косинусов

С другой стороны, теорема косинусов дает нам эти три равенства для любого треугольника ABC:

a ² = b ² + c ² -2 bc * cos (A)

b ² = a ² + c ² -2ac * cos (B)

c ² = a ² + b ² -2ab * cos (С)

Эти теоремы также известны как закон синуса и закон косинуса соответственно.

Еще одна характеристика, которую мы можем дать острым треугольникам, заключается в том, что два из них равны, если они удовлетворяют любому из следующих критериев:

- Если у них одинаковые три стороны.

- Если у них одна сторона и два равных угла друг к другу.

- Если у них две равные стороны и угол.

Типы

Острые треугольники можно классифицировать по их сторонам. Это могут быть:

Равносторонние острые треугольники

Это острые треугольники, у которых все стороны равны, и, следовательно, все их внутренние углы имеют одинаковое значение, которое составляет A = B = C = 60 ° градусов.

В качестве примера возьмем следующий треугольник, стороны a, b и c которого имеют значение 4.

Равнобедренные острые треугольники

Эти треугольники, помимо острых внутренних углов, имеют две равные стороны, а третью, которая обычно используется в качестве основания, отличается.

Примером этого типа треугольника может быть треугольник, основание которого равно 3, а его две другие стороны имеют значение 5. При этих измерениях он будет иметь углы, противоположные углам равных сторон со значением 72,55 ° и противоположным углом основание будет 34,9 °.

Скален острые треугольники

Эти треугольники имеют разные стороны по два. Следовательно, все его углы, кроме того, что они меньше 90 °, отличаются от двух до двух.

Треугольник DEF (размеры которого равны d = 4, e = 5 и f = 6, а его углы равны D = 41,41 °, E = 55,79 ° и F = 82,8 °) является хорошим примером остроугольного треугольника. неравносторонний.

Разрешение острых треугольников

Как мы уже говорили, для решения задач с острыми треугольниками необходимо использовать теоремы синусов и косинусов.

Пример 1

Дан треугольник ABC с углами A = 30 °, B = 70 ° и стороной a = 5 см, мы хотим узнать значение угла C и сторон b и c.

Первое, что мы делаем, это используем тот факт, что сумма внутренних углов треугольника равна 180 °, чтобы получить значение угла C.

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C

Мы очищаем C и имеем:

С = 180 ° - 100 ° = 80 °

Поскольку мы уже знаем три угла и одну сторону, мы можем использовать теорему синусов, чтобы определить значение остальных сторон. По теореме имеем:

a / sin (A) = b / sin (B) и a / sin (A) = c / (sin (C)

Мы выделяем b из уравнения, и у нас остается:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0,940) / (0,5) ≈ 9,4

Теперь нам нужно только вычислить значение c. Действуем так же, как и в предыдущем случае:

c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0,984) / (0,5) ≈ 9,84

Таким образом мы получаем все данные треугольника. Как видим, этот треугольник относится к разностороннему остроугольному треугольнику.

Пример 2

Учитывая треугольник DEF со сторонами d = 4 см, e = 5 см и f = 6 см, мы хотим знать значение углов этого треугольника.

В этом случае мы будем использовать закон косинуса, который говорит нам, что:

d ² = e ² + f ² - 2efcos (D)

Из этого уравнения мы можем решить для cos (D), что дает нам в результате:

Cos (D) = ((4) ² - (5) ² - (6) ² ) / (- 2 * 5 * 6) = 0,75

Отсюда D ≈ 41,41 °

Используя теперь теорему сенома, мы имеем следующее уравнение:

d / (sin (D) = e / (sin (E)

Решая грех (E), мы имеем:

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0,66) / 4 ≈ 0,827

Отсюда E≈55,79 °

Наконец, используя эту сумму внутренних углов треугольника, равную 180 °, мы получаем F≈82,8 °.

1. Ландаверде, Ф. д. (1997). Геометрия (Перепечатка ред.). Прогресс.
2. Лик, Д. (2006). Треугольники (иллюстрировано ред.). Хайнеманн-Рейнтри.
3. Леал Дж. Хуан Мануэль. (2003). Плоско-метрическая геометрия. CODEPRE
4. Руис, Б., и Баррантес, Х. (2006). Геометрии. CR-технология.
5. Салливан, М. (1997). Тригонометрия и аналитическая геометрия. Pearson Education.