РАВНОБЕДРЕННАЯ ТРАПЕЦИЯ: СВОЙСТВА, ОТНОШЕНИЯ И ФОРМУЛЫ, ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2026

Равнобедренной трапеции является четырехугольником , в котором две стороны параллельны друг другу и, кроме того, два угла рядом с одной из этих параллельных сторон имеют одинаковую меру.

На рисунке 1 изображен четырехугольник ABCD, в котором стороны AD и BC параллельны. Кроме того, углы ∠DAB и ∠ADC, примыкающие к параллельной стороне AD, имеют одинаковую меру α.

Рис. 1. Равнобедренная трапеция. Источник: Ф. Сапата.

Итак, этот четырехугольник или четырехсторонний многоугольник фактически представляет собой равнобедренную трапецию.

В трапеции параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные стороны - боковыми. Другой важной характеристикой является высота, то есть расстояние, разделяющее параллельные стороны.

Помимо равнобедренной трапеции существуют и другие виды трапеций:

-T рапецевидная разносторонняя, имеющая все углы и разные стороны.

-Прямоугольный рапецоид, у которого одна сторона имеет прямые смежные углы.

Как будет показано позже, трапециевидная форма широко используется в различных областях дизайна, архитектуры, электроники, расчетов и многих других. Отсюда важность ознакомления с его свойствами.

Свойства

Эксклюзивно для равнобедренной трапеции

Если трапеция равнобедренная, то она имеет следующие характерные свойства:

1.- Стороны имеют одинаковый размер.

2.- Углы, прилегающие к основаниям, равны.

3.- Противоположные углы являются дополнительными.

4.- Диагонали имеют одинаковую длину, причем два сегмента, соединяющие противоположные вершины, одинаковы.

5.- Углы, образованные между основаниями и диагоналями, имеют одинаковую меру.

6.- Он имеет ограниченную окружность.

И наоборот, если трапеция соответствует любому из вышеперечисленных свойств, то это равнобедренная трапеция.

Если у равнобедренной трапеции один из углов прямой (90º), то все остальные углы тоже будут прямыми, образуя прямоугольник. То есть прямоугольник - это частный случай равнобедренной трапеции.

Рис. 2. Контейнер для попкорна и школьные столы имеют форму равнобедренной трапеции. Источник: Pxfuel (слева) / McDowell Craig через Flickr. (право)

Для всех трапеций

Для любой трапеции действует следующий набор свойств:

7.- Медиана трапеции, то есть отрезок, соединяющий середины ее непараллельных сторон, параллелен любому из оснований.

8.- Длина медианы равна полусумме (сумма, деленная на 2) длины ее оснований.

9.- Медиана трапеции пересекает ее диагонали посередине.

10.- Диагонали трапеции пересекаются в точке, которая делит их на две части, пропорциональные частным оснований.

11.- Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов ее сторон плюс двойное произведение ее оснований.

12.- Отрезок, соединяющий середины диагоналей, имеет длину, равную полуразности оснований.

13.- Углы, прилегающие к бокам, являются дополнительными.

14. Трапеция имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда сумма ее оснований равна сумме ее сторон.

15.- Если трапеция имеет вписанную окружность, то углы с вершиной в центре указанной окружности и сторонами, проходящими через концы той же стороны, являются прямыми углами.

Связи и формулы

Следующий набор взаимосвязей и формул относится к рисунку 3, где в дополнение к равнобедренной трапеции показаны другие уже упомянутые важные сегменты, такие как диагонали, высота и медиана.

Рис. 3. Медиана, диагонали, высота и описанная окружность равнобедренной трапеции. Источник: Ф. Сапата.

Уникальные соотношения равнобедренной трапеции

1.- AB = DC = c = d

2.- DAB = ∡CDA и ∡ABC = ∡BCD

3.- DAB + ∡BCD = 180º и ∡CDA + ∡ABC = 180º.

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C и D принадлежат описанной окружности.

Отношения на любой трапеции

1. Если AK = KB и DL = LC ⇒ KL - AD и KL - BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 и DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC и DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- DAB + ∡ABC = 180º и ∡CDA + ∡BCD = 180º.

14.- Если AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R, чем равноудалены от AD, BC, AB и DC

15.- Если ∃ R равноудалено от AD, BC, AB и DC, то:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Соотношения для равнобедренной трапеции с вписанной окружностью

Если у равнобедренной трапеции сумма оснований вдвое больше латеральной, значит, вписанная окружность существует.

Рис. 4. Трапеция с вписанной окружностью. Источник: Ф. Сапата.

Следующие свойства применяются, когда равнобедренная трапеция имеет вписанную окружность (см. Рисунок 4 выше):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- Диагонали пересекаются под прямым углом: AC ⊥ BD

18.- Высота соответствует среднему значению: HF = KL, то есть h = m.

19.- Квадрат высоты равен произведению оснований: h ² = BC⋅AD

20.- В этих особых условиях площадь трапеции равна квадрату высоты или произведению оснований: Площадь = h ² = BC⋅AD.

Формулы для определения одной стороны, зная другие и угол

Зная основание, боковую часть и угол, другое основание можно определить по:

а = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

Если длина оснований и угол даны как известные данные, то длины обеих сторон равны:

c = (a - b) / (2 Cos α)

Определение одной стороны, зная другие и диагональ

а = (d ₁ ² - c ² ) / b;

б = (д ₁ ² - с ² ) / а

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

Где d ₁ - длина диагоналей.

База с высоты, площади и другой базы

а = (2 А) / ч - б

б = (2 А) / ч - а

Известные боковые основания, площадь и угол наклона

c = (2A) /

Известная латеральная медиана, площадь и угол

c = A / (m sin α)

Известная высота бортов

h = √

Известная высота угол и две стороны

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. грех α

Известны диагонали со всех сторон, или две стороны и угол

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

Периметр равнобедренного треугольника

Р = а + Ь + 2с

Площадь равнобедренной трапеции

Существует несколько формул расчета площади в зависимости от известных данных. В зависимости от основания и высоты наиболее известны следующие:

А = h⋅ (a + b) / 2

И вы также можете использовать эти другие:

-Если стороны известны

А = √

-Когда у вас есть две стороны и угол

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

-Если известны радиус вписанной окружности и угол

A = 4 r ² / сен α = 4 r ² / сен β

-Когда известны основания и угол

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Если на трапецию можно вписать окружность

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-Знать диагонали и угол, который они образуют друг с другом

A = (D ₁ ² /2) γ = Сен (д ₁ ² /2) & delta ; Sen

-Когда у вас есть латеральное, срединное и угловое

A = mc.sen α = mc.sen β

Радиус описанной окружности

Только равнобедренные трапеции имеют ограниченную окружность. Если известно большее основание a, поперечник c и диагональ d ₁ , то радиус R окружности, проходящей через четыре вершины трапеции, равен:

R = a⋅c⋅d ₁ / 4√

Где p = (a + c + d ₁ ) / 2

Примеры использования равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция появляется в области дизайна, как показано на рисунке 2. А вот еще несколько примеров:

В архитектуре и строительстве

Древние инки знали равнобедренную трапецию и использовали ее как строительный элемент в этом окне в Куско, Перу:

Рисунок 5. Трапециевидное окно Кориканча, Куско. Источник: Wikimedia Commons.

И здесь трапеция снова появляется в так называемом трапециевидном листе, который часто используется в строительстве:

Рисунок 6. Металлический лист трапециевидной формы, временно защищающий окна здания. Источник: Wikimedia Commons.

В дизайне

Мы уже видели, что равнобедренная трапеция встречается в повседневных предметах, включая такие продукты, как эта шоколадная плитка:

Рис. 7. Плитка шоколада, грани которой имеют форму равнобедренной трапеции. Источник: Pxfuel.

Решенные упражнения

- Упражнение 1

Равнобедренная трапеция имеет основание более 9 см, основание менее 3 см и диагонали по 8 см каждая. Рассчитать:

в стороне

б) Высота

в) Периметр

г) Площадь

Рисунок 8. Схема упражнения 1. Источник: Ф. Сапата.

Решение для

Отобразится высота CP = h, где основание высоты определяет сегменты:

PD = x = (ab) / 2 y

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника DPC:

с ² = Н ² + (а - б) ² /4

А также к прямоугольному треугольнику APC:

д ² = Н ² + АР ² = Н ² + (а + б) ² /4

Наконец, член за членом вычитается второе уравнение из первого и упрощается:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6,08 см

Решение б

ч ² = d ² - (а + б) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ² ) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 √7 = 5,29 см

Решение c

Периметр = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6,083 = 24,166 см

Решение d

Площадь = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 см

- Упражнение 2.

Есть равнобедренная трапеция, у которой большее основание вдвое меньше меньшего, а меньшее основание равно высоте, равной 6 см. Решать:

а) Длина бокового

б) Периметр

в) Площадь

г) Углы

Рисунок 8. Схема упражнения 2. Источник: Ф. Сапата.

Решение для

Данные: a = 12, b = a / 2 = 6 и h = b = 6

Действуем следующим образом: рисуем высоту h и применяем теорему Пифагора к треугольнику гипотенузы «c» и катетам h и x:

с ² = h ² + xc ²

Затем вам нужно вычислить значение высоты из данных (h = b) и высоты ноги x:

а = Ь + 2 х ⇒ х = (ab) / 2

Подставляя предыдущие выражения, получаем:

с ² = Ь ² + (аb) ² /2 ²

Теперь вводятся числовые значения, и это упрощается:

с ² = 62+ (12-6) 2/4

с ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Получение:

c = 3√5 = 6,71 см

Решение б

Периметр P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 см

Решение c

Площадь как функция высоты и длины оснований равна:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 см ²

Решение d

Угол α, который образует боковая часть с большим основанием, получается тригонометрическим методом:

Загар (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63,44º

Другой угол, тот, который образует боковую часть с меньшим основанием, - это β, который является дополнительным к α:

β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

Ссылки

1. EA 2003. Элементы геометрии: с упражнениями и геометрией компаса. Медельинский университет.
2. Кампос, Ф. 2014. Математика 2. Grupo Редакционное Patria.
3. Фрид, К. 2007. Откройте для себя полигоны. Компания Benchmark Education.
4. Хендрик, В. 2013. Обобщенные многоугольники. Birkhäuser.
5. ИГЕР. Математика Первый семестр Такана. ИГЕР.
6. Геометрия младшего. 2014. Полигоны. Lulu Press, Inc.
7. Миллер, Херен и Хорнсби. 2006. Математика: рассуждения и приложения. 10-е. Издание. Pearson Education.
8. Патиньо, М. 2006. Математика 5. От редакции Прогресо.
9. Wikipedia. Трапеция. Получено с: es.wikipedia.com