ТРЕХЧЛЕН ВИДА X ^ 2 + BX + C (С ПРИМЕРАМИ) - МАТЕМАТИКА - 2025

Прежде чем научиться решать трехчлен вида x ^ 2 + bx + c и даже до того, как вы узнаете концепцию трехчлена, важно знать два основных понятия; а именно, понятия монома и многочлена. Моном - это выражение типа a * x ⁿ , где a - рациональное число, n - натуральное число, а x - переменная.

Многочлен - это линейная комбинация одночленов вида a _n * x ⁿ + a _n-1 * x ^n-1 +… + a ₂ * x ² + a ₁ * x + a ₀ , где каждый a _i , с i = 0,…, n, рациональное число, n натуральное число и a_n ненулевое значение. В этом случае степень многочлена называется n.

Многочлен, образованный суммой только двух членов (двух одночленов) разной степени, называется двучленом.

Триномы

Многочлен, образованный суммой только трех членов (трех одночленов) разной степени, называется трехчленом. Ниже приведены примеры трехчленов:

• х ³ + х ² + 5х
• 2х ⁴ -х ³ +5
• х ² + 6х + 3

Есть несколько типов трехчленов. Из них выделяется идеальный квадратный трехчлен.

Полный квадрат трехчлена

Полное квадратное трехчленное - это результат возведения двучлена в квадрат. Например:

• (3x-2) ² = 9x ² -12x + 4
• (2x ³ + y) ² = 4x ⁶ + 4x ³ y + y ²
• (4x ² -2y ⁴ ) ² = 16х ⁴ -16x ² г ⁴ + 4y ⁸
• 1 / 16x ² y ⁸ -1 / 2xy ⁴ z + z ² = (1 / 4xy ⁴ ) ² -2 (1 / 4xy ⁴ ) z + z ² = (1 / 4xy ⁴ -z) ²

Характеристики трехчленов 2 степени

Идеальный квадрат

В общем, трехчлен вида ax ² + bx + c является полным квадратом, если его дискриминант равен нулю; то есть, если b ² -4ac = 0, поскольку в этом случае он будет иметь единственный корень и его можно выразить в форме a (xd) ² = (√a (xd)) ² , где d - уже упомянутый корень.

Корень многочлена - это число, в котором многочлен обращается в ноль; другими словами, число, которое при замене x в полиномиальном выражении дает ноль.

Формула разрешения

Общая формула для вычисления корней многочлена второй степени вида ax ² + bx + c - это резольвентная формула, которая утверждает, что эти корни задаются как (–b ± √ (b ² -4ac)) / 2a, где b ² -4ac известен как дискриминант и обычно обозначается ∆. Из этой формулы следует, что ax ² + bx + c имеет:

- Два разных действительных корня, если ∆> 0.

- Единственный действительный корень, если ∆ = 0.

- У него нет реального корня, если ∆ <0.

В дальнейшем будут рассматриваться только трехчлены вида x ² + bx + c, где, очевидно, c должно быть числом, отличным от нуля (иначе это было бы двучленом). Эти типы трехчленов имеют определенные преимущества при факторинге и работе с ними.

Геометрическая интерпретация

Геометрически трехчлен х ² + BX + C представляет собой параболу , которая открывается вверх и имеет вершину в точке (-b / 2, -b ² /4 + с) декартовой плоскости , что х ² + BX + с = ( х + б / 2) ² -b ² /4 + гр.

Эта парабола пересекает ось Y в точке (0, c) и ось X в точках (d ₁ , 0) и (d ₂ , 0); тогда d ₁ и d ₂ - корни трехчлена. Может случиться так, что трехчлен имеет единственный корень d, и в этом случае единственный разрез с осью X будет (d, 0).

Также может случиться так, что у трехчлена нет реального корня, и в этом случае он не будет пересекать ось X ни в какой точке.

Так , например, х ² + 6x + 9 = (х + 3) ² -9 + 9 = (х + 3) ² является парабола с вершиной в точке (-3,0), который пересекает ось Y в точке (0, 9) и оси X в точке (-3,0).

Триномиальный факторинг

Очень полезным инструментом при работе с многочленами является факторинг, который состоит в выражении многочлена как произведения множителей. В общем случае, если трехчлен вида x ² + bx + c имеет два разных корня d ₁ и d ₂ , его можно разложить на множители как (xd ₁ ) (xd ₂ ).

Если он имеет единственный корень d, его можно разложить на множители как (xd) (xd) = (xd) ² , а если у него нет реального корня, он останется таким же; в этом случае он не допускает факторизацию как продукт факторов, отличных от него самого.

Это означает, что, зная корни трехчлена в уже установленном виде, его факторизация может быть легко выражена, и, как уже упоминалось выше, эти корни всегда можно определить с помощью резольвенты.

Однако существует значительное количество трехчленов этого типа, которые можно разложить на множители, не зная предварительно их корни, что упрощает работу.

Корни могут быть определены непосредственно из факторизации без использования формулы резольвенты; это многочлены вида x ² + (a + b) x + ab. В этом случае мы имеем:

x ² + (a + b) x + ab = x ² + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Из этого легко видеть, что корни - это –a и –b.

Другими словами, для данного трехчлена x ² + bx + c, если есть два числа u и v такие, что c = uv и b = u + v, то x ² + bx + c = (x + u) (x + v).

То есть, учитывая трехчлен x ² + bx + c, сначала проверяется наличие двух чисел, умножение которых дает независимый член (c), а добавление (или вычитание, в зависимости от случая) дает член, сопровождающий x ( б).

Не для всех трехчленов можно применить этот метод; в которых это невозможно, используется разрешение и применяется вышеупомянутое.

Примеры

Пример 1

Чтобы разложить на множители следующий трехчлен x ² + 3x + 2, действуйте следующим образом:

Вы должны найти два числа так, чтобы при их сложении результат был 3, а при их умножении - 2.

После осмотра можно сделать вывод, что искомые числа: 2 и 1. Следовательно, x ² + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Пример 2

Чтобы разложить на множители трехчлен x ² -5x + 6, мы ищем два числа, сумма которых равна -5, а их произведение равно 6. Числа, удовлетворяющие этим двум условиям, - это -3 и -2. Следовательно, факторизация данного трехчлена будет x ² -5x + 6 = (x-3) (x-2).

Ссылки

1. Фуэнтес, А. (2016). ОСНОВНАЯ МАТЕМАТИКА. Введение в исчисление. Lulu.com.
2. Гаро, М. (2014). Математика: квадратные уравнения: как решить квадратное уравнение. Марилу Гаро.
3. Хаусслер, EF, и Пол, RS (2003). Математика для менеджмента и экономики. Pearson Education.
4. Хименес, Дж., Рофригес, М., и Эстрада, Р. (2005). Математика 1 сен. Порог.
5. Прециадо, Коннектикут (2005). Курс математики 3-й. Редакция Прогресо.
6. Рок, Нью-Мексико (2006). Алгебра I - это просто! Так легко. Team Rock Press.
7. Салливан, Дж. (2006). Алгебра и тригонометрия. Pearson Education.