КОЭФФИЦИЕНТ ПУАССОНА: КОЭФФИЦИЕНТ, ФОРМУЛЫ, ЗНАЧЕНИЯ, ПРИМЕРЫ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2025

Коэффициент Пуассона - безразмерная величина, характерная для каждого материала. Это показатель деформации куска материала перед приложением определенных сил.

Когда кусок материала, который подвергается растяжению или сжатию, подвергается деформации, соотношение между поперечной деформацией и продольной деформацией является в точности коэффициентом Пуассона.

Рисунок 1. Коэффициент Пуассона измеряет взаимосвязь между продольным растяжением и поперечным сужением. (Подготовлено Рикардо Пересом)

Например, резиновый цилиндр, который на концах растягивается, растягивается в продольном направлении, но сужается в поперечном. На рисунке 1 показан стержень, исходные размеры которого: длина L и диаметр D.

Пруток подвергается растяжению Т на своих концах, и как следствие этого натяжения он подвергается растяжению, так что новая длина L '> L. Но когда он растягивается, его диаметр также сужается до нового значения: D <D.

Частное между растяжением (положительным) и сужением (отрицательным), умноженное на (-1), является положительным числом от 0 до 0,5. Это число является так называемым коэффициентом Пуассона ν (греческая буква ню).

Формула коэффициента Пуассона

Для расчета коэффициента Пуассона необходимо определить продольную и поперечную деформации.

Продольная деформация ε _L - это растяжение, деленное на исходную длину:

ε _L = (L '- L) / L

Аналогично, поперечная деформация ε _T - это радиальное сужение, деленное на исходный диаметр:

ε _T = (D '- D) / D

Следовательно, коэффициент Пуассона рассчитывается по следующей формуле:

ν = - ε _T / ε _L

Связь с модулем упругости и модулем жесткости

Коэффициент Пуассона ν связан с модулем упругости E (или модулем Юнга) и модулем жесткости G следующей формулой:

Значение коэффициента Пуассона для материалов

Рисунок 2. Нержавеющая сталь имеет коэффициент Пуассона от 0,30 до 0,31. Источник: Pixabay.

Примеры расчетов

Пример 1

Брусок из определенного пластика имеет длину 150 мм и круглое сечение диаметром 20 мм. При воздействии силы сжатия F, равной 612,25 кгс, наблюдается сокращение на 14 мм и одновременно увеличение диаметра стержня на 0,85 мм.

Рассчитать:

а) Продольная деформация.

б) Поперечная деформация.

c) Коэффициент Пуассона этого материала.

г) модуль упругости Юнга, соответствующий материалу.

д) Модуль жесткости этого пластика.

Решение для

Напомним, что продольная деформация εL - это растяжение, деленное на исходную длину:

εL = (L '- L) / L

εL = (-14 мм) / 150 мм = -0,0933

Отметим, что продольная деформация безразмерна, и в этом случае она была отрицательной, так как произошло уменьшение ее продольного размера.

Решение б

Точно так же поперечная деформация εT представляет собой радиальный конус, деленный на исходный диаметр:

εT = (D '- D) / D

εT = (+0,85 мм) / 20 мм = 0,0425

Поперечная деформация была положительной, поскольку диаметр стержня увеличился.

Решение c

Для расчета коэффициента Пуассона мы должны помнить, что он определяется как отрицательное значение отношения между поперечной деформацией и продольной деформацией:

ν = - εT / εL

ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Следует помнить, что коэффициент Пуассона является положительным безразмерным числом и для большинства материалов он находится между 0 и 0,5.

Решение d

Модуль упругости Юнга, обозначаемый буквой E, является константой пропорциональности в законе Гука. Согласно E нормальное напряжение σL связано с деформацией εL следующим образом:

σL = E εL

Нормальное напряжение определяется как отношение нормальной силы (в данном случае параллельной оси стержня) и площади поперечного сечения:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

В этом упражнении сила F равна 612,25 кгс, которую необходимо преобразовать в ньютоны, что является единицей силы в системе СИ:

F = 612,25 кг-сила = 612,25 * 9,8 Н = 6000 Н = 6 кН

Со своей стороны, поперечное сечение площади A составляет:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 м) ^ 2 = 3,1416 * 10 ^ -4 м ^ 2

Наконец, нормальное напряжение, приложенное к стержню, составляет:

σL = F / A = 6000 Н / 3,1416 * 10 ^ -4 м ^ 2 = 19,098,593 Па = 19,098 МПа

Чтобы вычислить модуль упругости Юнга, мы решаем для E из закона Гука σL = E εL:

E = σL / εL = 19 098 593 Па / 0,0933 = 204,7 МПа

Решение e

Модуль жесткости G связан с модулем Юнга E и коэффициентом Пуассона ν следующей формулой:

E / (2 G) = 1 + ν

Оттуда мы можем решить для G:

G = E / (2 (1 + ν)) = 204,7 МПа / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 МПа

Пример 2

Есть медный кабель диаметром 4 мм и длиной 1 м. Зная, что модуль Юнга меди составляет 110000 МПа, а коэффициент Пуассона равен 0,34, оцените растяжение и сужение в диаметре, которым подвергается проволока, когда на нее подвешивают груз весом 100 кгс.

Решение

Во-первых, необходимо рассчитать нормальное растягивающее напряжение, которое вес оказывает на проволоку, по следующей формуле:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

Сила F составляет 980 Н, а площадь поперечного сечения составляет:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 м) ^ 2 = 1,2566 * 10 ^ -5 м ^ 2

Тогда растягивающее напряжение равно:

σL = 980 Н / 1,2566 * 10 ^ -5 м ^ 2 = 77,986,000 Па

Расчет деформации проволоки

Модуль упругости Юнга, обозначаемый буквой E, является константой пропорциональности в законе Гука, который связывает нормальное напряжение σL с деформацией εL:

σL = E εL

Отсюда можно решить проблему продольной деформации медного провода:

εL = σL / E = 77,986 МПа / 110000 МПа = 7,09 * 10 ^ -4

Расчет поперечной деформации

С другой стороны, чтобы узнать поперечную деформацию, применяется коэффициент Пуассона:

ν = - εT / εL

Наконец, поперечная деформация равна:

εT = –ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4

Расчет абсолютного натяжения кабеля

Наконец, чтобы узнать абсолютное натяжение кабеля, необходимо применить следующее соотношение:

ΔL = εL * L = 7,09 * 10 ^ -4 * 1 м = 7,09 * 10 ^ -4 м = 0,709 мм

То есть при таком весе кабель едва растягивается на 0,709 миллиметра.

Расчет уменьшения диаметра

Чтобы получить абсолютную усадку по диаметру, воспользуемся следующей формулой:

ΔD = εT * D = -2,41 * 10 ^ -4 * 4 мм = -9,64 * 10 ^ -4 мм = -0,000964 миллиметра.

Это сужение в диаметре настолько мало, что его трудно увидеть невооруженным глазом, даже для его измерения требуется высокоточный инструмент.

Ссылки

1. Бир Ф .. Механика материалов. Пятые. Издание. 2010. Мак Гроу Хилл. 1-130.
2. Хиббелер Р. Механика материалов. Издание восьмое. Прентис Холл. 2011. 3-60.
3. Гир Дж. Механика материалов. Издание восьмое. Cengage Learning. 4-220.
4. Джанколи, Д. 2006. Физика: принципы с приложениями. 6-е изд. Прентис Холл. 238-242.
5. Валера Негрете, Дж. 2005. Заметки по общей физике. НАУ. 87-98.