НЕКОПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, УСЛОВИЯ, УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2026

В не - векторы планарных являются те , которые не разделяют ту же плоскость. Два свободных вектора и точка определяют одну плоскость. Третий вектор может или не может разделять эту плоскость, и если это не так, они не компланарные векторы.

Некопланарные векторы не могут быть представлены в двухмерных пространствах, таких как доска или лист бумаги, потому что некоторые из них содержатся в третьем измерении. Чтобы представить их правильно, вы должны использовать перспективу.

Рис. 1. Копланарные и некопланарные векторы. (Собственная разработка)

Если мы посмотрим на рисунок 1, все показанные объекты находятся строго в плоскости экрана, однако благодаря перспективе наш мозг может представить себе плоскость (P), которая выходит из него.

На этой плоскости (P) находятся векторы r , s , u , а векторы v и w не находятся в этой плоскости.

Следовательно, векторы r , s , u компланарны или компланарны друг другу, поскольку они находятся в одной плоскости (P). Векторы v и w не имеют общей плоскости с другими показанными векторами, поэтому они не компланарны.

Копланарные векторы и уравнение плоскости.

Плоскость определяется однозначно, если в трехмерном пространстве есть три точки.

Предположим, что эти три точки - это точка A, точка B и точка C, которые определяют плоскость (P). С помощью этих точек можно построить два вектора AB = u и AC = v , которые по построению копланарны плоскости (P).

Векторное произведение (или перекрестное произведение) этих двух векторов дает третий вектор, перпендикулярный (или нормальный) к обоим из них и, следовательно, перпендикулярный плоскости (P):

n = u X v => n ⊥ u и n ⊥ v => n ⊥ (P)

Любая другая точка, принадлежащая плоскости (P), должна удовлетворять тому, что вектор AQ перпендикулярен вектору n ; Это эквивалентно тому, что скалярное произведение (или скалярное произведение) n с AQ должно быть равно нулю:

n • AQ = 0 (*)

Предыдущее условие эквивалентно тому, что:

AQ • ( u X v ) = 0

Это уравнение гарантирует, что точка Q принадлежит плоскости (P).

Декартово уравнение плоскости

Вышеприведенное уравнение можно записать в декартовой форме. Для этого запишем координаты точек A, Q и компонент вектора нормали n :

Итак, компоненты AQ:

Условием того, что вектор AQ содержится в плоскости (P), является условие (*), которое теперь записывается так:

Остается вычислить скалярное произведение:

Если развернуть и переставить, остается:

Предыдущее выражение представляет собой декартово уравнение плоскости (P) как функцию компонентов вектора, нормального к (P), и координат точки A, которая принадлежит (P).

Условия некомпланарности трех векторов

Как было показано в предыдущем разделе, условие AQ • ( u X v ) = 0 гарантирует, что вектор AQ компланарен u и v .

Если мы назовем вектор AQ w, то можем утверждать, что:

w , u и v компланарны тогда и только тогда, когда w • ( u X v ) = 0.

Условие некопланарности

Если тройное произведение (или смешанное произведение) трех векторов отличается от нуля, то эти три вектора не компланарны.

Если w • ( u X v ) ≠ 0, то векторы u, v и w не компланарны.

Если ввести декартовы компоненты векторов u, v и w, условие некопланарности можно записать так:

Тройное произведение имеет геометрическую интерпретацию и представляет собой объем параллелепипеда, образованный тремя некопланарными векторами.

Рисунок 2. Три некомпланарных вектора определяют параллелепипед, объем которого является модулем тройного произведения. (Собственная разработка)

Причина в следующем; Когда два некопланарных вектора перемножаются векторно, получается вектор, величина которого равна площади параллелограмма, который они генерируют.

Затем, когда этот вектор скалярно умножается на третий некопланарный вектор, мы получаем проекцию на вектор, перпендикулярный плоскости, которую определяют первые два, умноженную на площадь, которую они определяют.

Другими словами, у нас есть площадь параллелограмма, образованная первыми двумя, умноженная на высоту третьего вектора.

Альтернативное условие некопланарности

Если у вас есть три вектора, и любой из них не может быть записан как линейная комбинация двух других, то эти три вектора не компланарны. То есть три вектора u , v и w не компланарны, если выполняется условие:

α u + β v + γ w = 0

Он выполняется только при α = 0, β = 0 и γ = 0.

Решенные упражнения

-Упражнение 1

Есть три вектора

и = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) и w = (-1, 2, z)

Обратите внимание, что z-компонента вектора w неизвестна.

Найдите диапазон значений, который может принимать z, чтобы три вектора гарантированно не находились в одной плоскости.

Решение

w • ( u X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Мы устанавливаем это выражение равным нулю

21 г + 18 = 0

и решаем относительно z

г = -18 / 21 = -6/7

Если бы переменная z приняла значение -6/7, тогда три вектора были бы копланарными.

Таким образом, значения z, которые гарантируют, что векторы не компланарны, находятся в следующем интервале:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

-Упражнение 2.

Найдите объем параллелепипеда, показанного на следующем рисунке:

Решение

Чтобы найти объем параллелепипеда, показанного на рисунке, будут определены декартовы компоненты трех параллельных некомпланарных векторов в начале системы координат. Первый - это вектор u размером 4m, параллельный оси X:

и = (4, 0, 0) м

Второй - это вектор v в плоскости XY размером 3 м, который образует 60º с осью X:

v = (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1,5, 2,6, 0,0) м

И третий - это вектор w размером 5m, проекция которого в плоскости XY составляет 60º с осью X, кроме того, w составляет 30º с осью Z.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

После проведения расчетов имеем: w = (1,25, 2,17, 2,5) m.

Ссылки

1. Фигероа, Д. Серия: Физика для науки и техники. Том 1. Кинематика. 31-68.
2. Физический. Модуль 8: Векторы. Получено с: frtl.utn.edu.ar
3. Хиббелер, Р. 2006. Механика для инженеров. статический 6-е издание. Continental Publishing Company 28-66.
4. Маклин, W. Schaum Series. Механика для инженеров: статика и динамика. 3-е издание. Макгроу Хилл. 1-15.
5. Wikipedia. Вектор. Получено с: es.wikipedia.org