В свободных векторах являются те, которые полностью определяется его величина, направление и смысл, не будучи необходимым , чтобы указать точку приложения или определенного происхождение.
Поскольку таким образом можно рисовать бесконечные векторы, свободный вектор - это не единичный объект, а набор параллельных и идентичных векторов, которые не зависят от того, где они находятся.
Рисунок 1. Различные свободные векторы. Источник: самодельный.
Допустим, у нас есть несколько векторов величины 3, направленных вертикально вверх, или величин 5 и наклоненных вправо, как на рисунке 1.
Ни один из этих векторов специально не применяется ни в какой точке. Тогда любой из синих или зеленых векторов представляет соответствующую группу, поскольку их характеристики - модуль, направление и смысл - вообще не меняются, когда они переносятся в другое место на плоскости.
Свободный вектор обычно обозначается в печатном тексте жирной строчной буквой, например v. Или со строчной буквой и стрелкой над ней, если это рукописный текст .
Преимущество свободных векторов состоит в том, что их можно перемещать по плоскости или в пространстве и сохранять свои свойства, поскольку любой представитель множества одинаково допустим.
Вот почему в физике и механике они используются часто. Например, чтобы указать линейную скорость движущегося твердого тела, необязательно выбирать конкретную точку на объекте. Таким образом, вектор скорости ведет себя как свободный вектор.
Другой пример свободного вектора - пара сил. Пара состоит из двух сил равной величины и направления, но противоположных направлений, приложенных в разных точках твердого тела. Эффект пары состоит не в том, чтобы перемещать объект, а в том, чтобы вызвать вращение благодаря создаваемому моменту.
На рис. 2 показана пара сил, приложенных к рулевому колесу. За счет сил F 1 и F 2 создается крутящий момент, который вращает маховик вокруг своего центра по часовой стрелке.
Рис. 2. Пара сил, приложенная к рулевому колесу, поворачивает его по часовой стрелке. Источник: Беляско.
Вы можете внести некоторые изменения в крутящий момент и при этом получить тот же эффект вращения, например, увеличив силу, но уменьшив расстояние между ними. Или поддерживайте силу и расстояние, но прикладывайте крутящий момент к другой паре точек на рулевом колесе, то есть вращайте крутящий момент вокруг центра.
Момент пары или просто пары - это вектор, модуль которого равен Fd и направлен перпендикулярно плоскости маховика. В примере, показанном условно, вращение по часовой стрелке имеет отрицательное направление.
Свойства и характеристики
В отличие от свободного вектора v, векторы AB и CD являются фиксированными (см. Рисунок 3), поскольку они имеют заданную начальную точку и точку прибытия. Но поскольку они группируются друг с другом и, в свою очередь, с вектором v , они представляют свободный вектор v .
Рисунок 3. Свободные векторы, векторы групповой линзы и фиксированные векторы. Источник: самодельный.
Основные свойства свободных векторов следующие:
-Любой вектор AB (см. Рисунок 2), как сказано, является представителем свободного вектора v .
-Модуль, направление и смысл одинаковы у любого представителя свободного вектора. На рисунке 2 векторы AB и CD представляют собой свободный вектор v и являются групповыми.
- Для точки P в пространстве всегда можно найти представителя свободного вектора v , начало которого находится в P, и этот представитель уникален. Это самое важное свойство свободных векторов, которое делает их такими универсальными.
-Нулевой свободный вектор обозначается как 0 и представляет собой набор всех векторов, которым не хватает величины, направления и смысла.
-Если вектор AB представляет собой свободный вектор v , то вектор BA представляет собой свободный вектор - v .
- Обозначение V 3 будет использоваться для обозначения набора всех свободных векторов в пространстве и V 2 для обозначения всех свободных векторов в плоскости.
Решенные упражнения
Со свободными векторами можно выполнять следующие операции:
-Сумма
-Вычитание
-Умножение скаляра на вектор
-Скалярное произведение между двумя векторами.
-Взаимное произведение двух векторов
-Линейная комбинация векторов
И больше.
-Упражнение 1
Ученик пытается переплыть из одной точки на берегу реки в другую, прямо противоположную. Чтобы достичь этого, он плывет прямо со скоростью 6 км / ч в перпендикулярном направлении, однако течение имеет скорость 4 км / ч, которая отклоняет его.
Вычислите результирующую скорость пловца и то, насколько его отклоняет течение.
Решение
Результирующая скорость пловца представляет собой векторную сумму его скорости (относительно реки, нарисованной вертикально вверх) и скорости реки (нарисованной слева направо), которая вычисляется, как показано на рисунке ниже:
Величина результирующей скорости соответствует гипотенузе показанного прямоугольного треугольника, поэтому:
v = (6 2 + 4 2 ) ½ км / ч = 7,2 км / ч
Направление можно рассчитать по углу относительно перпендикуляра к берегу:
α = arctg (4/6) = 33,7º или 56,3º по отношению к берегу.
Упражнение 2.
Найдите момент пары сил, показанной на рисунке:
Решение
Момент рассчитывается по:
М = г х F
Единицы измерения момента - фунт-фут. Поскольку пара находится в плоскости экрана, момент направлен перпендикулярно ей, либо наружу, либо внутрь.
Поскольку крутящий момент в примере имеет тенденцию вращать объект, к которому он приложен (который не показан на рисунке) по часовой стрелке, считается, что этот момент направлен внутрь экрана и имеет отрицательный знак.
Величина момента M = Fdsen a, где a - угол между силой и вектором r. Вы должны выбрать точку, относительно которой будет вычисляться момент, т.е. свободный вектор. Выбирается начало отсчета системы отсчета, поэтому r идет от точки O до точки приложения каждой силы.
M 1 = M 2 = -Fdsen60º = -500. 20. сен 60º фунт-сила. фут = -8660,3 фунт-фут. нога
Чистый момент представляет собой сумму M 1 и M 2 : -17329,5 фунт-сила. нога.
Ссылки
- Бирдон, Т. 2011. Введение в векторы. Получено с: nrich.maths.org.
- Бедфорд, 2000. А. Инженерная механика: Статика. Эддисон Уэсли. 38-52.
- Фигероа, Д. Серия: Физика для науки и техники. Том 1. Кинематика. 31-68.
- Физический. Модуль 8: Векторы. Получено с: frtl.utn.edu.ar
- Хиббелер, Р. 2006. Механика для инженеров. статический 6-е издание. Континентальная издательская компания. 15-53.
- Калькулятор сложения векторов. Получено с: 1728.org
- Векторы. Получено с: en.wikibooks.org