ВЕКТОРЫ В КОСМОСЕ: КАК СТРОИТЬ, ПРИЛОЖЕНИЯ, УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2026

Вектор в пространстве это все , что представлено в системе координат , заданной х, у и г. В большинстве случаев плоскость xy - это горизонтальная плоскость поверхности, а ось z представляет высоту (или глубину).

Декартовы оси координат, показанные на рисунке 1, делят пространство на 8 областей, называемых октантами, аналогично тому, как оси x - y делят плоскость на 4 квадранта. Тогда у нас будет 1-й октант, 2-й октант и так далее.

Рисунок 1. Вектор в пространстве. Источник: самодельный.

На рис. 1 изображен вектор v в пространстве. Требуется некоторая перспектива, чтобы создать иллюзию трех измерений на плоскости экрана, которая достигается путем рисования вида под углом.

Чтобы изобразить трехмерный вектор, вы должны использовать пунктирные линии, которые определяют на сетке координаты проекции или «тени» v на поверхности xy. Эта проекция начинается в точке O и заканчивается зеленой точкой.

Оказавшись там, вы должны продолжить движение по вертикали до необходимой высоты (или глубины) в соответствии со значением z, пока не дойдете до P. Вектор рисуется, начиная с O и заканчивая P, который в примере находится в 1-м октанте.

Приложения

Векторы в космосе широко используются в механике и других областях физики и техники, поскольку окружающие нас структуры требуют трехмерной геометрии.

Позиция векторы в пространстве используются для позиционирования объектов относительно опорной точки называется OR происхождения. Таким образом, они также являются необходимыми инструментами в навигации, но это не все.

Силы, действующие на такие конструкции, как болты, кронштейны, тросы, стойки и т. Д., Имеют векторную природу и ориентированы в пространстве. Чтобы узнать его действие, необходимо знать его адрес (а также место его применения).

И часто направление силы известно, зная две точки в пространстве, которые принадлежат ее линии действия. Таким образом, сила:

F = F u

Где F является величина или величина силы , и у единичный вектор (модуль 1) , направленный вдоль линии действия F .

Обозначения и представления трехмерных векторов

Прежде чем перейти к решению некоторых примеров, мы кратко рассмотрим обозначение трехмерных векторов.

В примере на рисунке 1 вектор v, точка начала координат которого совпадает с началом координат O, а конец - точкой P, имеет положительные координаты xyz, а координата y отрицательна. Эти координаты: x ₁ , y ₁ , z ₁ , которые в точности совпадают с координатами P.

Итак, если у нас есть вектор, связанный с началом координат, то есть чья начальная точка совпадает с O, очень легко указать его координаты, которые будут координатами крайней точки или P.Чтобы различать точку и вектор, мы будем использовать последние жирные буквы и скобки, например:

v = <x ₁ , y ₁ , z ₁ >

Пока точка P обозначается круглыми скобками:

P = (х ₁ , у ₁ , z ₁ )

В другом представлении используются единичные векторы i , j и k, которые определяют три направления пространства по осям x, y и z соответственно.

Эти векторы перпендикулярны друг другу и образуют ортонормированный базис (см. Рисунок 2). Это означает, что трехмерный вектор может быть записан в их терминах как:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Углы и управляющие косинусы вектора

На рис. 2 также показаны углы директора γ ₁ , γ ₂ и γ _3, которые вектор v составляет соответственно с осями x, y и z. Зная эти углы и величину вектора, он полностью определяется. Кроме того, косинусы углов директора соответствуют следующему соотношению:

(cos γ ₁ ) ² + (cos γ ₂ ) ² + (cos γ ₃ ) ² = 1

Рис. 2. Единичные векторы i, j и k определяют 3 предпочтительных направления пространства. Источник: самодельный.

Решенные упражнения

-Упражнение 1

На фиг. 2 углы γ ₁ , γ ₂ и γ _3, которые вектор v модуля 50 образует с осями координат, составляют соответственно: 75,0º, 60,0º и 34,3º. Найдите декартовы компоненты этого вектора и представьте его через единичные векторы i , j и k .

Решение

Проекция вектора v на ось _x равна v _x = 50. cos 75º = 12 941. Таким же образом проекция v на ось y равна v _y = 50 cos 60 º = 25 и, наконец, на оси z будет v _z = 50. cos 34,3 º = 41,3. Теперь v можно выразить как:

v = 12,9 i + 25,0 j + 41,3 k

-Упражнение 2.

Найдите натяжение каждого троса, удерживающего ковш на рисунке, который находится в равновесии, если его вес составляет 30 Н.

Рис. 3. Диаграмма напряжений для упражнения 2.

Решение

На ковше диаграмма свободного тела показывает, что T _D (зеленый) компенсирует вес W (желтый), поэтому T _D = W = 30 Н.

В узле вектор T _D направлен вертикально вниз, тогда:

Т _Д = 30 (- k ) Н.

Чтобы установить оставшееся напряжение, выполните следующие действия:

Шаг 1. Найдите координаты всех точек

A = (4.5,0,3) (A находится в плоскости стены xz)

B = (1.5,0,0) (B находится на оси x)

C = (0, 2.5, 3) (C находится в плоскости стены и z)

D = (1.5, 1.5, 0) (D находится в горизонтальной плоскости xy)

Шаг 2. Найдите векторы в каждом направлении, вычтя координаты конца и начала.

DA = <3; -1,5; 3>

DC = <-1,5; один; 3>

DB = <0; -1,5; 0>

Шаг 3: вычислить модули и единичные векторы

Единичный вектор получается выражением: u = r / r, где r (выделено жирным шрифтом) является вектором, а r (не выделено жирным шрифтом) является модулем указанного вектора.

DA = (3 ² + (-1,5) ² + 3 ² ) ^½ = 4,5; DC = ((-1,5) ² + 1 ² + 3 ² ) ^½ = 3,5

u _DA = <3; -1,5; 3> 4,5 = <0,67; -0,33; 0,67>

u _DC = <-1,5; один; 3> 3,5 = <-0,43; 0,29; 0,86>

u _DB = <0; -один; 0>

u _D = <0; 0; -1>

Шаг 4. Выразите все напряжения в виде векторов

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0,67; -0,33; 0,67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0,43; 0,29; 0,86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -один; 0>

Т _Д = 30 <0; 0; -1>

Шаг 5: Примените условие статического равновесия и решите систему уравнений

Наконец, к ковшу применяется условие статического равновесия, так что векторная сумма всех сил на узле равна нулю:

Т _ДА + Т _ДК + Т _ДБ + Т _Д = 0

Поскольку напряжения находятся в пространстве, это приведет к системе трех уравнений для каждого компонента (x, y и z) напряжений.

0,67 T _DA -0,43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0,33 T _DA + 0,29 T _DC - T _DB = 0

0,67 T _DA + 0,86 T _DC +0 T _DB - 30 = 0

Решение: T _DA = 14,9 Н; T _DA = 23,3 Н; T _DB = 1,82 Н

Ссылки

1. Бедфорд, 2000. А. Инженерная механика: Статика. Эддисон Уэсли. 38-52.
2. Фигероа, Д. Серия: Физика для науки и техники. Том 1. Кинематика. 31-68.
3. Физический. Модуль 8: Векторы. Получено с: frtl.utn.edu.ar
4. Хиббелер, Р. 2006. Механика для инженеров. статический 6-е издание. Континентальная издательская компания. 15-53.
5. Калькулятор сложения векторов. Получено с: 1728.org