ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ПРИМЕРЫ И УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2026

Эти параллельные векторы являются векторами группы , чьи оси совпадают в одной точке, образуя между каждой парой внутреннего и внешнего другого угла. Наглядный пример показан на рисунке ниже, где A, B и C - векторы, параллельные друг другу.

D и E в отличие от остальных нет. Между параллельными векторами AB, AC и CB образуются углы. Их называют углами связи между векторами.

характеристики

-У них есть общая точка, которая совпадает с их происхождением: все величины параллельных векторов начинаются от общей точки к их соответствующим концам.

-Исходная точка считается точкой действия вектора: должна быть установлена ​​точка действия, на которую будет напрямую влиять каждый из параллельных векторов.

-Его область на плоскости и пространстве - это R ² и R ³ соответственно: параллельные векторы могут свободно покрывать все геометрическое пространство.

-Позволяет использовать разные обозначения в одной и той же группе векторов. Согласно направлениям исследований, в операциях с векторами присутствуют разные обозначения.

Типы векторов

Ветвь векторов имеет несколько подразделений, некоторые из которых можно назвать: параллельные, перпендикулярные, копланарные, соответствующие, противоположные и унитарные. Здесь перечислены параллельные векторы, и, как и все перечисленные выше, они имеют множество применений в различных науках.

Они очень распространены при изучении векторов, поскольку представляют собой полезное обобщение операций с ними. Как в плоскости, так и в пространстве, параллельные векторы обычно используются для представления различных элементов и изучения их влияния на конкретную систему.

Векторное обозначение

Есть несколько способов представить векторный элемент. Основными и наиболее известными являются:

Декартово

Предложенный тем же математическим подходом, он обозначает векторы тройкой, соответствующей величине каждой оси (x, y, z).

A: (1, 1, -1) Пробел A: (1, 1) Плоскость

Полярный

Они служат только для обозначения векторов на плоскости, хотя в интегральном исчислении им приписывается глубинная составляющая. Он состоит из линейной величины r и угла по отношению к полярной оси .

A: (3, 45 ⁰ ) Плоскость A: (2, 45 ⁰ , 3) Пробел

Аналитический

Они определяют величины вектора, используя версоры. Версоры (i + j + k) представляют собой единичные векторы, соответствующие осям X, Y и

А: 3i + 2j - 3k

Сферический

Они похожи на полярные обозначения, но с добавлением второго угла, проходящего по плоскости xy, обозначенного δ.

A: (4, 60 ^или , π / 4)

Параллельные векторные операции

Параллельные векторы в основном используются для определения операций между векторами, потому что легче сравнивать элементы векторов, когда они представлены одновременно.

Сумма (A + B)

Сумма параллельных векторов направлена ​​на нахождение результирующего вектора V _r . Что, согласно разделу исследования, соответствует финальному действию.

Например: 3 строки {A, B, C} привязаны к коробке, каждый конец строки удерживается одним субъектом. Каждый из трех испытуемых должен тянуть веревку в другом направлении, чем два других.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + by + cy; az + bz + cz) = V _r

Коробка сможет двигаться только в одном направлении, поэтому V _r будет указывать направление и направление движения коробки.

Разница (A - B)

Существует множество критериев, касающихся разницы между векторами, многие авторы предпочитают исключать ее и заявляют, что оговаривается только сумма между векторами, где разница составляет примерно сумму противоположных векторов. На самом деле векторы можно вычесть алгебраически.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) =

Скалярное произведение (A. B)

Также известный как скалярное произведение, он генерирует скалярное значение, которое может быть связано с различными величинами в зависимости от отрасли исследования.

Для геометрии укажите площадь параллелограмма, образованного парой параллельных векторов, с помощью метода параллелограмма. В механической физике он определяет работу, совершаемую силой F при перемещении тела на расстояние Δr.

ѡ = F . Δr

Как видно из названия, он генерирует скалярное значение и определяется следующим образом:

Пусть векторы A и B равны

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

-Аналитическая форма:

(A. B) = -A -.- B-.Cos θ

Где θ - внутренний угол между обоими векторами

-Алгебраическая форма:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Перекрестное произведение (A x B)

Векторное произведение или скалярное произведение между двумя векторами, определяет третий вектор C , имеющий качество быть перпендикулярна B и C . В физике вектор крутящего момента τ является базовым элементом динамики вращения.

-Аналитическая форма:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

-Алгебраическая форма:

(A x B) = = (ax. By - ay. Bx) - (ax. Bz - az. Bx) j + (ax. By - ay. Bx) k

-Относительное движение: r _{A / B}

Основа относительности - относительное движение, а параллельные векторы - основа относительного движения. Относительные положения, скорости и ускорения можно вычислить, применив следующий порядок идей.

r _{A / B} = r _A - r _B ; Относительное положение A относительно B

v _{A / B} = v _A - v _B ; Относительная скорость A относительно B

a _{A / B} = a _A - a _B ; Относительное ускорение A относительно B

Примеры: решенные упражнения

Упражнение 1

Пусть A, B и C - параллельные векторы.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

-Определите получившийся вектор V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

-Определите скалярное произведение (A. C)

(A. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4-6 + 5

(A. C) = 3

-Рассчитайте угол между A и C

(A. C) = -A -.- C-. Cos θ Где θ - кратчайший угол между векторами

θ = 88,63 ⁰

-Найдите вектор, перпендикулярный A и B

Для этого необходимо определить векторное произведение между (-1, 3, 5) и (3, 5, -2). Как объяснялось ранее, создается матрица 3 x 3, в которой первая строка состоит из тройных единичных векторов (i, j, k). Затем 2-я и 3-я строки состоят из векторов для работы в соответствии с порядком работы.

(А х В) = = я - j + к

(A x B) = (-5 - 9) I - (2 - 15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

Упражнение 2.

Пусть V _a и V _b - векторы скорости A и B соответственно. Вычислите скорость B, если смотреть со стороны A.

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

В этом случае запрашивается относительная скорость B относительно A V _{B / A.}

В _{Б / А} = В _Б - В _А

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Это вектор скорости точки B, видимый со стороны A. Там, где описывается новый вектор скорости точки B, взяв за основу наблюдатель, расположенный в точке A и движущийся со скоростью A.

Предлагаемые упражнения

1. Построить 3 вектора A, B и C, которые являются параллельными, и связать 3 операции между ними посредством практического упражнения.

2-Пусть векторы A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) и C: (-2, -1, 10). Найдите векторы, перпендикулярные: A и B, C и B, сумме A + B + C.

4-Определите 3 вектора, которые перпендикулярны друг другу, без учета координатных осей.

5-Определите работу, выполняемую силой, которая поднимает блок массой 5 ​​кг со дна колодца глубиной 20 метров.

6-Покажите алгебраически, что вычитание векторов равно сумме противоположного вектора. Обоснуйте свои постулаты.

7-Обозначьте вектор во всех обозначениях, разработанных в этой статье. (Декартово, полярное, аналитическое и сферическое).

8-Магнитные силы, действующие на магнит, который лежит на столе, задаются следующими векторами; В: (5, 3, -2), Т: (4, 7, 9), Н: (-3, 5, -4). Определите, в каком направлении будет двигаться магнит, если все магнитные силы действуют одновременно.

Ссылки

1. Евклидова геометрия и преобразования. Клейтон В. Додж. Courier Corporation, 1 января 2004
2. Как решать задачи прикладной математики Л. Моисейвич. Courier Corporation, 10 апр. 2013
3. Основные понятия геометрии. Вальтер Преновиц, Мейер Джордан. Роуман и Литтлфилд, 4 октября. 2012 г.
4. Векторы. Росио Наварро Лакоба, 7 июня. 2014
5. Линейная алгебра. Бернард Колман, Дэвид Р. Хилл. Pearson Education, 2006 г.