ВЕКТОР ДИРЕКТОРА: УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ, РЕШЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2026

Под вектором директора понимается тот, который определяет направление линии либо в плоскости, либо в пространстве. Следовательно, вектор, параллельный прямой, можно рассматривать как ее направляющий вектор.

Это возможно благодаря аксиоме евклидовой геометрии, согласно которой две точки определяют линию. Тогда ориентированный сегмент, образованный этими двумя точками, также определяет вектор директора указанной линии.

Рис. 1. Директорный вектор линии. (Собственная разработка)

Дана точка P, принадлежащая прямой (L), и задан вектор-директор u этой линии, линия полностью определена.

Уравнение линии и вектора директора

Рисунок 2. Уравнение линии и вектора директора. (Собственная разработка)

Дана точка P с координатами P: (Xo, I) и вектор u, директор линии (L), каждая точка Q с координатами Q: (X, Y) должна удовлетворять тому, что вектор PQ параллелен u. Последнее условие гарантируется, если PQ пропорционален u :

PQ = t⋅ u

в приведенном выше выражении t - параметр, принадлежащий действительным числам.

Если записаны декартовы компоненты PQ и u , приведенное выше уравнение записывается следующим образом:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Если компоненты векторного равенства уравнять, получится следующая пара уравнений:

X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t

Параметрическое уравнение линии

Координаты X и Y точки, принадлежащей линии (L), которая проходит через координатную точку (Xo, Yo) и параллельна вектору директора u = (a, b), определяются путем присвоения реальных значений переменному параметру t:

{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}

Пример 1

Чтобы проиллюстрировать смысл параметрического уравнения линии, возьмем в качестве направляющего вектора

u = (a, b) = (2, -1)

и как известная точка линии точка

Р = (Хо, I) = (1, 5).

Параметрическое уравнение линии:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞

Чтобы проиллюстрировать смысл этого уравнения, показан рисунок 3, где параметр t изменяется по значению, а точка Q координат (X, Y) занимает разные позиции на линии.

Рисунок 3. PQ = t u. (Собственная разработка)

Линия в векторной форме

Учитывая точку P на прямой и ее вектор-директор u, уравнение прямой можно записать в векторной форме:

OQ = OP + λ⋅ u

В приведенном выше уравнении Q - любая точка, но принадлежащая прямой, а λ - действительное число.

Векторное уравнение линии применимо к любому количеству измерений, даже гиперлинию можно определить.

В трехмерном случае для вектора директора u = (a, b, c) и точки P = (Xo, Yo, Zo) координаты общей точки Q = (X, Y, Z), принадлежащей прямой, равны :

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

Пример 2

Рассмотрим снова линию, имеющую в качестве направляющего вектора

u = (a, b) = (2, -1)

и как известная точка линии точка

Р = (Хо, I) = (1, 5).

Векторное уравнение указанной линии:

(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)

Непрерывная форма линии и вектора директора

Начиная с параметрической формы, очищая и приравнивая параметр λ, имеем:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

Это симметричная форма уравнения прямой. Обратите внимание, что a, b и c - компоненты вектора директора.

Пример 3

Рассмотрим линию, имеющую в качестве направляющего вектора

u = (a, b) = (2, -1)

и как известная точка линии точка

Р = (Хо, I) = (1, 5). Найдите его симметричную форму.

Симметричная или непрерывная форма линии:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

Общий вид уравнения прямой

Общая форма линии в плоскости XY известна как уравнение, имеющее следующую структуру:

A⋅X + B⋅Y = C

Выражение для симметричной формы можно переписать в общем виде:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

по сравнению с общей формой линии это:

A = b, B = -a и C = b⋅Xo - a⋅Yo

Пример 3

Найдите общий вид прямой, вектор директора которой u = (2, -1)

и который проходит через точку P = (1, 5).

Для нахождения общей формы можно использовать приведенные формулы, однако будет выбран альтернативный путь.

Мы начинаем с нахождения двойственного вектора w вектора директора u, определяемого как вектор, полученный путем обмена компонентами u и умножения второго на -1:

ш = (-1, -2)

двойственный вектор w соответствует повороту вектора директора v на 90 ° по часовой стрелке .

Мы скалярно умножаем w на (X, Y) и на (Xo, Yo) и приравниваем:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

осталось наконец:

Х + 2У = 11

Стандартная форма уравнения прямой

Он известен как стандартная форма линии в плоскости XY, имеющая следующую структуру:

Y = m⋅X + d

где m представляет собой наклон, а d - точку пересечения с осью Y.

Учитывая вектор направления u = (a, b), наклон m равен b / a.

Y d получается заменой X и Y известной точки Xo, I:

I = (b / a) Xo + d.

Короче говоря, m = b / a и d = I - (b / a) Xo

Обратите внимание, что наклон m представляет собой частное между y-составляющей вектора директора и x-составляющей его.

Пример 4

Найдите стандартную форму линии, вектор директора которой u = (2, -1)

и который проходит через точку P = (1, 5).

m = -½ и d = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Решенные упражнения

-Упражнение 1

Найдите вектор-директор прямой (L), которая является пересечением плоскости (Π): X - Y + Z = 3 и плоскости (Ω): 2X + Y = 1.

Затем напишите непрерывную форму уравнения прямой (L).

Решение

Из уравнения плоскости (Ω) зазор Y: Y = 1-2X

Затем подставляем в уравнение плоскости (Π):

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

Затем параметризуем X, выбираем параметризацию X = λ

Это означает, что линия имеет векторное уравнение:

(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

который можно переписать как:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

при этом видно, что вектор u = (1, -2, -3) является направляющим вектором прямой (L).

Непрерывная форма линии (L):

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

-Упражнение 2.

Для плоскости 5X + a Y + 4Z = 5

и линия, уравнение которой: X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Определите такое значение, чтобы плоскость и прямая были параллельны.

Решение 2

Вектор n = (5, a, 4) - это вектор, нормальный к плоскости.

Вектор u = (1, 3, -2) является направляющим вектором прямой.

Если прямая параллельна плоскости, то n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Ссылки

1. Флеминг В. и Варберг Д.Е. (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Колман, Б. (2006). Линейная алгебра. Pearson Education.
3. Леал, Дж. М., и Вилория, Н. Г. (2005). Плоская аналитическая геометрия. Мерида - Венесуэла: Редакция Венесолана CA
4. Наварро, Росио. Векторы. Получено с: books.google.co.ve.
5. Перес, CD (2006). Предварительный расчет. Pearson Education.
6. Преновиц, В. 2012. Основные понятия геометрии. Роуман и Литтлфилд.
7. Салливан, М. (1997). Предварительный расчет. Pearson Education.