НЕПРЕРЫВНАЯ ПЕРЕМЕННАЯ: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ПРИМЕРЫ И УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2026

Непрерывные переменный является тот , который может принимать бесконечное число числовых значений между двумя заданными значениями, даже если эти два значения сколь угодно близко. Они используются для описания измеримых атрибутов; например рост и вес. Значения, которые принимает непрерывная переменная, могут быть рациональными числами, действительными числами или комплексными числами, хотя последний случай менее частый в статистике.

Основная характеристика непрерывных переменных состоит в том, что между двумя рациональными или реальными значениями всегда можно найти другое, а между этим другим и первым может быть найдено другое значение, и так до бесконечности.

Рис. 1. Кривая представляет собой непрерывное распределение, а столбцы - дискретное. Источник: pixabay

Например, предположим переменный вес в группе, где самый тяжелый весит 95 кг, а самый низкий - 48 кг; это будет диапазон переменной, а количество возможных значений бесконечно.

Например, от 50,00 кг до 50,10 кг может быть 50,01. Но между 50.00 и 50.01 может быть величина 50.005. Это непрерывная переменная. С другой стороны, если бы в возможных измерениях веса была установлена ​​точность до одного десятичного знака, то используемая переменная была бы дискретной.

Непрерывные переменные относятся к категории количественных переменных, потому что с ними связано числовое значение. С помощью этого числового значения можно выполнять математические операции в диапазоне от арифметических до методов бесконечно малых вычислений.

Примеры

Большинство переменных в физике - это непрерывные переменные, среди которых мы можем назвать: длину, время, скорость, ускорение, энергию, температуру и другие.

Непрерывные переменные и дискретные переменные

В статистике можно определять различные типы переменных, как качественные, так и количественные. К последней категории относятся непрерывные переменные. С ними можно выполнять арифметические и вычислительные операции.

Например, переменная h, соответствующая людям ростом от 1,50 до 1,95 м, является непрерывной переменной.

Давайте сравним эту переменную с этой: сколько раз выпадет орел при подбрасывании монеты, которое мы назовем n.

Переменная n может принимать значения от 0 до бесконечности, однако n не является непрерывной переменной, так как не может принимать значения 1,3 или 1,5, потому что между значениями 1 и 2 нет другого. Это пример дискретной переменной.

Упражнение с непрерывными переменными

Рассмотрим следующий пример: машина производит спички и упаковывает их в коробку. Определены две статистические переменные:

Номинальная длина спички составляет 5,0 см с допуском 0,1 см. Количество спичек в коробке - 50 с допуском 3.

а) Укажите диапазон значений, которые могут принимать L и N.

б) Сколько значений может принимать L?

в) Сколько значений можно принять?

В каждом случае указывайте, дискретная это переменная или непрерывная.

Решение

Значения L находятся в диапазоне; то есть значение L находится в интервале, и переменная L может принимать бесконечные значения между этими двумя измерениями. Тогда это непрерывная переменная.

Значение переменной n находится в интервале. Переменная n может принимать только 6 возможных значений в интервале допуска, тогда это дискретная переменная.

Осуществление

Если, помимо непрерывности, значения, принимаемые переменной, имеют определенную вероятность появления, связанную с ними, то это непрерывная случайная величина. Очень важно различать, является ли переменная дискретной или непрерывной, поскольку вероятностные модели, применимые к одному и другому, различны.

Непрерывная случайная величина полностью определена, когда известны значения, которые она может принимать, и вероятность того, что каждая из них произойдет.

-Упражнение 1 вероятностей

Сваха делает их таким образом, чтобы длина клюшек всегда находилась между значениями 4,9 см и 5,1 см и ноль вне этих значений. Есть вероятность получить палку размером от 5,00 до 5,05 см, хотя мы могли бы также извлечь палку размером 5 0003 см. Эти значения одинаково вероятны?

Решение

Предположим, что плотность вероятности однородна. Вероятности нахождения совпадения определенной длины перечислены ниже:

- То, что совпадение находится в диапазоне, имеет вероятность = 1 (или 100%), так как машина не отображает совпадения за пределами этих значений.

-Найдение совпадения между 4,9 и 5,0 имеет вероятность = ½ = 0,5 (50%), так как это половина диапазона длин.

-И вероятность того, что матч имеет длину от 5,0 до 5,1, также составляет 0,5 (50%).

-Известно, что не существует спичечных клюшек длиной от 5,0 до 5,2. Вероятность: нулевая (0%).

Вероятность нахождения зубочистки в определенном диапазоне

Теперь рассмотрим следующие вероятности P получения палочек длиной от l ₁ до l ₂ :

-P, что совпадение имеет длину от 5,00 до 5,05, обозначается как P ():

-P, что холм имеет длину от 5,00 до 5,01:

-P то, что холм имеет длину от 5000 до 5001, даже меньше:

Если мы будем продолжать уменьшать интервал, чтобы приближаться к 5,00, вероятность того, что зубочистка составляет ровно 5,00 см, равна нулю (0%). Что у нас есть, так это вероятность найти совпадение в определенном диапазоне.

Вероятность найти несколько зубочисток в заданном диапазоне

Если события независимы, вероятность того, что две зубочистки находятся в определенном диапазоне, является произведением их вероятностей.

-Вероятность того, что две палочки для еды находятся между 5,0 и 5,1, составляет 0,5 * 0,5 = 0,25 (0,25%)

-Вероятность того, что 50 зубочисток находятся в диапазоне от 5,0 до 5,1, равна (0,5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, то есть почти равна нулю.

-Вероятность того, что 50 зубочисток находятся между 4,9 и 5,1, равна (1) ^ 50 = 1 (100%)

-Упражнение 2 на вероятности

В предыдущем примере было сделано предположение, что вероятность одинакова в заданном интервале, однако это не всегда так.

В случае реальной машины, которая производит зубочистки, вероятность того, что зубочистка окажется на центральном значении, больше, чем на одном из крайних значений. С математической точки зрения это моделируется функцией f (x), известной как плотность вероятности.

Вероятность того, что мера L находится между a и b, вычисляется с использованием определенного интеграла функции f (x) между a и b.

В качестве примера предположим, что мы хотим найти функцию f (x), которая представляет собой равномерное распределение между значениями 4.9 и 5.1 из упражнения 1.

Если распределение вероятностей равномерно, то f (x) равна константе c, которая определяется путем вычисления интеграла от 4,9 до 5,1 от c. Поскольку этот интеграл является вероятностью, результат должен быть равен 1.

Рисунок 2. Равномерная плотность вероятности. (Собственная разработка)

Это означает, что c стоит 1 / 0,2 = 5. То есть функция равномерной плотности вероятности равна f (x) = {5, если 4,9≤x≤5,1 и 0 вне этого диапазона. Равномерная функция плотности вероятности показана на рисунке 2.

Обратите внимание, как в интервалах одинаковой ширины (например, 0,02) вероятность в центре такая же, как и в конце диапазона непрерывной переменной L (длина зубочистки).

Более реалистичной моделью была бы функция плотности вероятности, подобная следующей:

Рисунок 3. Неравномерная функция плотности вероятности. (Собственная разработка)

На рисунке 3 можно увидеть, как вероятность найти зубочистки от 4,99 до 5,01 (ширина 0,02) больше, чем вероятность нахождения зубочисток от 4,90 до 4,92 (ширина 0,02).

Ссылки

1. Динов, Иво. Дискретные случайные величины и распределения вероятностей. Получено с: stat.ucla.edu
2. Дискретные и непрерывные случайные величины. Получено с: ocw.mit.edu
3. Дискретные случайные величины и распределения вероятностей. Получено с: homepage.divms.uiowa.edu
4. Х. Пишро. Введение в вероятность. Получено с: вероятность course.com
5. Менденхолл, В. 1978. Статистика для управления и экономики. Grupo Редакционное Ибероамерикана. 103-106.
6. Проблемы случайных величин и вероятностные модели. Восстановлено с: ugr.es.
7. Wikipedia. Непрерывная переменная. Восстановлено с wikipedia.com
8. Wikipedia. Статистическая переменная. Получено с wikipedia.com.