РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ФОРМУЛА И ПЛОЩАДЬ, РАСЧЕТ - МАТЕМАТИКА - 2026

Равнобедренный треугольник представляет собой многоугольник с трех сторон, где два из них имеют ту же меру , и третью сторону другую меры. Эта последняя сторона называется основанием. Из-за этой характеристики ему было дано название, что по-гречески означает «равные ноги».

Треугольники - это многоугольники, которые считаются простейшими в геометрии, потому что они состоят из трех сторон, трех углов и трех вершин. Это те, которые имеют наименьшее количество сторон и углов по отношению к другим многоугольникам, однако их использование очень обширно.

Характеристики равнобедренных треугольников

Равнобедренный треугольник был классифицирован с использованием меры его сторон в качестве параметра, поскольку две его стороны совпадают (они имеют одинаковую длину).

По амплитуде внутренних углов равнобедренные треугольники классифицируются как:

• Равнобедренный прямоугольный треугольник : две его стороны равны. Один угол прямой (90 ^или ) и другие же (45 ^или каждый)
• Равнобедренный тупой треугольник : две его стороны равны. Один из углов тупой (> 90 ^или ).
• Равнобедренный острый треугольник : две стороны равны. Все углы острые (<90 ^или ), если оба имеют одинаковую величину.

Составные части

• Медиана : это линия, которая начинается от середины одной стороны и достигает противоположной вершины. Три медианы встречаются в точке, называемой барицентром или центроидом.
• Биссектриса : это луч, который делит угол каждой вершины на два угла равной меры. Вот почему она известна как ось симметрии, а у этого типа треугольников только одна.
• Биссектриса : это отрезок, перпендикулярный стороне треугольника, начало которой находится в середине. В треугольнике есть три медиации, и они встречаются в точке, называемой центром описанной окружности.
• Высота : это линия, которая идет от вершины к противоположной стороне, а также эта линия перпендикулярна этой стороне. Все треугольники имеют три высоты, которые совпадают в точке, называемой ортоцентром.

Свойства

Равнобедренные треугольники определяются или идентифицируются, потому что они имеют несколько свойств, которые представляют их, происходящие из теорем, предложенных великими математиками:

Внутренние углы

Сумма внутренних углов всегда равна 180 ^° .

Сумма сторон

Сумма мер двух сторон всегда должна быть больше меры третьей стороны, a + b> c.

Конгруэнтные стороны

Равнобедренные треугольники имеют две стороны одинаковой меры или длины; то есть они совпадают, и третья сторона отличается от них.

Конгруэнтные углы

Равнобедренные треугольники также известны как равнобедренные треугольники, потому что у них есть два угла одинаковой меры (конгруэнтные). Они расположены в основании треугольника, напротив сторон одинаковой длины.

В связи с этим была сформирована теорема, гласящая, что:

«Если у треугольника две совпадающие стороны, углы, противоположные этим сторонам, также будут конгруэнтными». Следовательно, если треугольник равнобедренный, то углы его оснований равны.

Пример:

На следующем рисунке показан треугольник ABC. Проведя свою биссектрису от вершины угла B к основанию, треугольник разделится на два равных треугольника BDA и BDC:

Таким образом, угол при вершине B также был разделен на два равных угла. Биссектриса теперь является общей стороной (BD) между этими двумя новыми треугольниками, а стороны AB и BC - конгруэнтными сторонами. Таким образом, мы имеем дело с конгруэнцией стороны, угла, стороны (LAL).

Это показывает, что углы вершин A и C имеют одинаковую меру, а также можно показать, что, поскольку треугольники BDA и BDC совпадают, стороны AD и DC также совпадают.

Высота, медиана, биссектриса и биссектриса совпадают

Линия, проведенная от вершины, противоположной основанию, до середины основания равнобедренного треугольника, является одновременно высотой, серединой и биссектрисой, а также биссектрисой относительно противоположного угла основания.

Все эти отрезки совпадают в том, что их представляет.

Пример:

На следующем рисунке показан треугольник ABC со средней точкой M, которая делит основание на два сегмента BM и CM.

Проведя отрезок от точки M к противоположной вершине, по определению получается медиана AM, которая относится к вершине A и стороне BC.

Поскольку отрезок AM делит треугольник ABC на два равных треугольника AMB и AMC, это означает, что будет иметь место случай совпадения стороны, угла и стороны, и поэтому AM также будет биссектрисой BÂC.

Следовательно, биссектриса всегда будет равна медиане и наоборот.

Сегмент AM образует углы, которые имеют одинаковую величину для треугольников AMB и AMC; то есть они дополняют друг друга таким образом, что мера каждого из них будет:

Мед. (AMB) + Med. (AMC) = 180 ^или

2 _* Средн. (AMC) = 180 ^или

Мед. (AMC) = 180 ^или ÷ 2

Med. (AMC) = 90 ^или

Можно знать, что углы, образованные сегментом AM относительно основания треугольника, являются прямыми, что указывает на то, что этот сегмент полностью перпендикулярен основанию.

Следовательно, он представляет высоту и биссектрису, зная, что M - это средняя точка.

Поэтому строка AM:

• Представляет на высоте BC.
• Среднего размера.
• Он находится внутри биссектрисы BC.
• Это биссектриса угла при вершине Â

Относительная высота

Высота, относящаяся к равным сторонам, также имеет одинаковый размер.

Поскольку у равнобедренного треугольника две равные стороны, их две соответствующие высоты также будут равны.

Ортоцентр, барицентр, инцентр и совпадающий центр окружности

Поскольку высота, медиана, биссектриса и биссектриса относительно основания одновременно представлены одним и тем же сегментом, ортоцентр, центр барицентра и центр описанной окружности будут коллинеарными точками, то есть они будут на одной линии:

Как рассчитать периметр?

Периметр многоугольника вычисляется путем сложения сторон.

Поскольку в данном случае равнобедренный треугольник имеет две стороны с одинаковой мерой, его периметр рассчитывается по следующей формуле:

P = 2 _* (сторона a) + (сторона b).

Как рассчитать высоту?

Высота - это линия, перпендикулярная основанию, она делит треугольник на две равные части, поскольку продолжается до противоположной вершины.

Высота представляет собой противоположное плечо (a), середина основания (b / 2) - соседнее плечо, а сторона «a» представляет собой гипотенузу.

Используя теорему Пифагора, значение высоты можно определить:

а ² + Ь ² = с ²

Куда:

a ² = высота (h).

б ² = б / 2.

c ² = сторона a.

Подставляя эти значения в теорему Пифагора и решая высоту, мы имеем:

h ² + (b / 2) ² = a ²

ч ² + B ² /4 = ²

ч ² = а ² - Ь ² /4

ч = √ (а ² - Ь ² /4).

Если известен угол, образованный конгруэнтными сторонами, высоту можно рассчитать по следующей формуле:

Как рассчитать площадь?

Площадь треугольников всегда вычисляется по одной и той же формуле: основание умножается на высоту и делится на два:

Бывают случаи, когда известны только размеры двух сторон треугольника и угол, образованный между ними. В этом случае для определения площади необходимо применить тригонометрические соотношения:

Как рассчитать основание треугольника?

Поскольку у равнобедренного треугольника две равные стороны, для определения значения его основания вам необходимо знать хотя бы меру высоты или одного из его углов.

Зная высоту, используется теорема Пифагора:

а ² + Ь ² = с ²

Куда:

a ² = высота (h).

c ² = сторона a.

b ² = b / 2, неизвестно.

Выделяем b ² из формулы и имеем:

б ² = а ² - с ²

б = √ а ² - с ²

Поскольку это значение соответствует половине основания, его необходимо умножить на два, чтобы получить полную меру основания равнобедренного треугольника:

b = 2 _* (√ a ² - c ² )

В случае, если известны только значения его равных сторон и угол между ними, применяется тригонометрия, проводящая линию от вершины к основанию, которая делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных.

Таким образом, половина базы рассчитывается с помощью:

Также возможно, что известны только значение высоты и угла вершины, противоположной основанию. В этом случае путем тригонометрии можно определить базу:

упражнения

Первое упражнение

Найдите площадь равнобедренного треугольника ABC, зная, что две его стороны равны 10 см, а третья - 12 см.

Решение

Чтобы найти площадь треугольника, необходимо вычислить высоту, используя формулу площади, которая связана с теоремой Пифагора, поскольку значение угла, образованного между равными сторонами, неизвестно.

У нас есть следующие данные равнобедренного треугольника:

• Равные стороны (а) = 10 см.
• База (б) = 12 см.

Значения подставляются в формулу:

Второе упражнение

Длина двух равных сторон равнобедренного треугольника составляет 42 см, стык этих сторон образует угол 130 ^или . Определите значение третьей стороны, площадь этого треугольника и периметр.

Решение

В этом случае известны размеры сторон и угол между ними.

Чтобы узнать значение недостающей стороны, то есть основания этого треугольника, проводится перпендикулярная к нему линия, деляющая угол на две равные части, по одной для каждого образованного прямоугольного треугольника.

• Равные стороны (а) = 42 см.
• Угол (Ɵ) = 130 ^o

Теперь методом тригонометрии вычисляется значение половины основания, что соответствует половине гипотенузы:

Чтобы вычислить площадь, необходимо знать высоту этого треугольника, которую можно рассчитать по тригонометрии или по теореме Пифагора, теперь, когда значение основания уже определено.

По тригонометрии это будет:

Периметр рассчитывается:

P = 2 _* (сторона a) + (сторона b).

P = 2 _* (42 см) + (76 см)

P = 84 см + 76 см

P = 160 см.

Третье упражнение

Вычислите внутренние углы равнобедренного треугольника, зная, что угол основания Â = 55 ^или

Решение

Чтобы найти два недостающих угла (Ê и Ô), необходимо запомнить два свойства треугольников:

• Сумма внутренних углов каждого треугольника всегда будет = 180 ^или :

 + Ê + Ô = 180 ^или

• В равнобедренном треугольнике углы основания всегда равны, то есть имеют одинаковую меру, поэтому:

 = Ô

Ê = 55 ^или

Чтобы определить значение угла, мы подставляем значения других углов в первое правило и решаем относительно Ê:

55 ^или + 55 ^или + Ô = 180 ^или

110 ^или + Ô = 180 ^или

Ô = 180 ^o - 110 ^o

Ô = 70 ^o .

Ссылки

1. Альварес, Э. (2003). Элементы геометрии: с многочисленными упражнениями и геометрией компаса. Медельинский университет.
2. Альваро Рендон, АР (2004). Технический рисунок: блокнот деятельности.
3. Ангел, AR (2007). Элементарная алгебра. Pearson Education.
4. Артур Гудман, LH (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Pearson Education.
5. Балдор, А. (1941). Алгебра. Гавана: культура.
6. Хосе Хименес, LJ (2006). Математика 2.
7. Тума, Дж. (1998). Справочник по инженерной математике. Wolfram MathWorld.