ПРАВАЯ ТРАПЕЦИЯ: СВОЙСТВА, ОТНОШЕНИЯ И ФОРМУЛЫ, ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2025

Правая трапеция является плоской фигурой с четырех сторон, таким образом, что два из них параллелен друг друг, называемых основания , а также один из других сторон перпендикулярны к основаниям.

По этой причине два внутренних угла прямые, то есть они составляют 90º. Отсюда и название «прямоугольник», данное рисунку. Следующее изображение правой трапеции поясняет эти характеристики:

Элементы трапеции

Элементами трапеции являются:

-Базисы

-Vertices

-Рост

-Внутренние углы

-Средняя база

-Диагонали

Мы собираемся детализировать эти элементы с помощью рисунков 1 и 2:

Рис. 1. Правая трапеция с двумя внутренними углами 90º: A и B. Источник: F. Zapata.

Стороны правой трапеции обозначаются строчными буквами a, b, c и d. Углы фигуры или вершины обозначаются заглавными буквами. Наконец, внутренние углы выражаются греческими буквами.

Согласно определению, основаниями этой трапеции являются стороны a и b, которые, как видно, параллельны и также имеют разную длину.

Сторона, перпендикулярная обоим основаниям, - это сторона c слева, которая представляет собой высоту h трапеции. И, наконец, есть сторона d, которая образует острый угол α со стороной a.

Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360º. Легко видеть, что недостающий угол C на рисунке равен 180 - α.

Срединное основание - это сегмент, соединяющий середины непараллельных сторон (сегмент EF на рисунке 2).

Рисунок 2. Элементы правой трапеции. Источник: Ф. Сапата.

И, наконец, есть диагонали d ₁ и d ₂ , отрезки, которые соединяют противоположные вершины и пересекаются в точке O (см. Рисунок 2).

Связи и формулы

Высота трапеции h

Периметр P

Это мера контура, вычисляемая путем сложения сторон:

Сторона d выражается через высоту или сторону c по теореме Пифагора:

Подставляя по периметру:

Средняя база

Это полусумма оснований:

Иногда средняя база выражается так:

Площадь

Площадь A трапеции - произведение среднего основания на высоту:

Диагонали, стороны и углы

На рисунке 2 появляется несколько треугольников, как правых, так и неправильных. Теорема Пифагора может быть применена к прямоугольным треугольникам и к тем, которые не являются теоремами косинусов и синусов.

Таким образом обнаруживаются взаимосвязи между сторонами, а также между сторонами и внутренними углами трапеции.

CPA треугольник

Это прямоугольник, его катеты равны и стоят b, а гипотенуза - диагональ d ₁ , поэтому:

Треугольник DAB

Это также прямоугольник, катеты - это a и c (или также ayh), а гипотенуза - d ₂ , так что:

Треугольник CDA

Поскольку этот треугольник не является прямоугольным, к нему применяется теорема косинусов или теорема синусов.

Согласно теореме косинусов:

CDP треугольник

Этот треугольник представляет собой прямоугольный треугольник, по сторонам которого построены тригонометрические отношения угла α:

Но сторона PD = a - b, поэтому:

У вас также есть:

CBD треугольник

В этом треугольнике у нас есть угол, вершина которого находится в C. Он не отмечен на рисунке, но вначале было выделено, что это 180 - α. Этот треугольник не является прямоугольным, поэтому можно применить теорему косинусов или теорему синусов.

Теперь легко показать, что:

Применяя теорему косинусов:

Примеры правильных трапеций

Трапеции и, в частности, правильные трапеции встречаются на многих сторонах, и иногда не всегда в осязаемой форме. Вот несколько примеров:

Трапеция как элемент дизайна

Геометрические фигуры изобилуют архитектурой многих зданий, таких как эта церковь в Нью-Йорке, которая представляет собой структуру в форме прямоугольной трапеции.

Точно так же трапециевидная форма часто используется в дизайне контейнеров, контейнеров, лезвий (режущих или точных), пластин и в графическом дизайне.

Рисунок 3. Ангел внутри прямоугольной трапеции в нью-йоркской церкви. Источник: Дэвид Геринг через Flickr.

Генератор трапециевидных волн

Электрические сигналы могут быть не только квадратными, синусоидальными или треугольными. Есть также трапециевидные сигналы, которые используются во многих схемах. На рисунке 4 показан трапециевидный сигнал, состоящий из двух правильных трапеций. Между собой они образуют единую равнобедренную трапецию.

Рисунок 4. Трапециевидный сигнал. Источник: Wikimedia Commons.

В численном расчете

Чтобы вычислить в числовой форме определенный интеграл функции f (x) между a и b, используется правило трапеций для аппроксимации площади под графиком f (x). На следующем рисунке слева интеграл аппроксимирован одной правой трапецией.

Лучшее приближение - это то, что показано на правом рисунке, с несколькими правыми трапециями.

Рис. 5. Определенный интеграл между a и b есть не что иное, как площадь под кривой f (x) между этими значениями. Прямая трапеция может служить первым приближением для такой области, но чем больше используется трапеций, тем лучше приближение. Источник: Wikimedia Commons.

Балка с трапециевидной нагрузкой

Силы не всегда сосредоточены в одной точке, поскольку тела, на которые они действуют, имеют заметные размеры. Так обстоит дело с мостом, по которому непрерывно движутся транспортные средства, водой плавательного бассейна на вертикальных стенах того же самого или крышей, на которой скапливается вода или снег.

По этой причине силы распределяются на единицу длины, площади поверхности или объема в зависимости от тела, на которое они действуют.

В случае балки сила, распределенная на единицу длины, может иметь различные распределения, например правая трапеция, показанная ниже:

Рисунок 6. Нагрузки на балку. Источник: Bedford, A. 1996. Static. Аддисон Уэсли Interamericana.

На самом деле распределения не всегда соответствуют правильным геометрическим фигурам, подобным этому, но во многих случаях они могут быть хорошим приближением.

Как образовательный и обучающий инструмент

Блоки и картинки геометрической формы, в том числе трапеции, очень помогают знакомить детей с увлекательным миром геометрии с раннего возраста.

Рисунок 7. Блоки простых геометрических форм. Сколько правильных трапеций скрыто в блоках? Источник: Wikimedia Commons.

Решенные упражнения

- Упражнение 1

У правой трапеции на рисунке 1 большее основание составляет 50 см, а меньшее основание равно 30 см, также известно, что наклонная сторона равна 35 см. Найти:

а) Угол α

б) Высота

в) Периметр

г) Средняя база

д) Площадь

е) диагонали

Решение для

Данные выписки резюмируются следующим образом:

a = большая база = 50 см

b = меньшее основание = 30 см

d = наклонная сторона = 35 см

Чтобы найти угол α, мы заходим в раздел формул и уравнений, чтобы узнать, какая из них лучше всего соответствует предоставленным данным. Искомый угол находится в нескольких проанализированных треугольниках, например в CDP.

У нас есть эта формула, которая содержит неизвестное, а также данные, которые мы знаем:

Таким образом:

Он очищает h:

d ₁ ² = 2 x (30 см) ² = 1800 см ²

d ₁ = √1800 см ² = 42,42 см

А для диагонали d ₂ :

Ссылки

1. Балдор, А. 2004. Геометрия плоскости и пространства с тригонометрией. Культурные публикации.
2. Бедфорд, А. 1996. Статика. Аддисон Уэсли Interamericana.
3. Геометрия младшего. 2014. Полигоны. Lulu Press, Inc.
4. OnlineMSchool. Прямоугольная трапеция. Получено с: es.onlinemschool.com.
5. Автоматическое решение геометрических задач. Трапеция. Получено с: scuolaelettrica.it
6. Wikipedia. Трапеция (геометрия). Получено с: es.wikipedia.org.