СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

В числе соединений являются целыми числами , которые имеют более двух делителей. Если мы присмотримся, все числа по крайней мере делятся точно сами на себя и на 1. Те, у которых есть только эти два делителя, называются простыми числами, а те, у которых больше, - составными.

Давайте посмотрим на число 2, которое можно разделить только на 1 и 2. Число 3 также имеет два делителя: 1 и 3. Следовательно, они оба простые. Теперь давайте посмотрим на число 12, которое мы можем точно разделить на 2, 3, 4, 6 и 12. Имея 5 делителей, 12 является составным числом.

Рис. 1. Простые числа синего цвета могут быть представлены только одной строкой точек, а не составными числами красного цвета. Источник: Wikimedia Commons.

А что происходит с числом 1, которое разделяет все остальные? Ну, это не простое число, потому что у него нет двух делителей, и оно не составное, поэтому 1 не попадает ни в одну из этих двух категорий. Но есть еще много других цифр.

Составные числа можно выразить как произведение простых чисел, и это произведение, за исключением порядка множителей, является уникальным для каждого числа. Это подтверждается основной теоремой арифметики, доказанной греческим математиком Евклидом (325–365 до н.э.).

Вернемся к числу 12, которое можно выразить по-разному. Попробуем:

12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2 ² x 3 = 3 x 2 ² = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2

Фигуры, выделенные жирным шрифтом, представляют собой произведения простых чисел, и единственное, что изменяется, - это порядок факторов, который, как мы знаем, не влияет на произведение. Другие формы, хотя и действительны для выражения 12, не состоят исключительно из простых чисел.

Примеры составных чисел

Если мы хотим разложить составное число на его простые множители, мы должны разделить его между простыми числами таким образом, чтобы деление было точным, то есть остаток был равен 0.

Эта процедура называется факторизацией на простые множители или каноническим разложением. Основные факторы могут быть увеличены до положительных показателей.

Мы собираемся разложить число 570 на разложение, отметив, что оно четное и поэтому делится на 2, что является простым числом.

Мы будем использовать полосу, чтобы отделить число слева от разделителей справа. Соответствующие частные помещаются под номерами по мере их получения. Разложение завершено, когда последняя цифра в левом столбце равна 1:

570 │2
285 │

При делении на 2 получается частное 285, которое делится на 5, еще одно простое число, заканчивающееся на 5.

570 │2
285 │5
57 │

57 делится на 3, тоже простое число, поскольку сумма его цифр 5 + 7 = 12 делится на 3.

570 │2
285 │5
57 │3
19 │

В итоге мы получаем 19, простое число, делители которого равны 19 и 1:

570 │2
285 │5
57 │3
19 │19
1 │

Получив 1, мы можем выразить 570 следующим образом:

570 = 2 х 5 х 3 х 19

И мы видим, что на самом деле это произведение 4 простых чисел.

В этом примере мы начинаем деление на 2, но те же коэффициенты (в другом порядке) были бы получены, если бы мы начали, например, с деления на 5.

Рис. 2. Составное число 42 также можно разложить с помощью древовидной диаграммы. Источник: Wikimedia Commons.

Критерии делимости

Чтобы разложить составное число на простые множители, необходимо точно разделить его. Критерии делимости между простыми числами - это правила, которые позволяют узнать, когда одно число точно делится на другое, без необходимости пытаться или доказывать.

- делимость на 2

Все четные числа, заканчивающиеся на 0 или четное число, делятся на 2.

- делимость на 3

Если сумма цифр числа кратна 3, то число также делится на 3.

- делимость на 5

Числа, оканчивающиеся на 0 или 5, делятся на 5.

-Делимость на 7

Число делится на 7, если при разделении последней цифры, умножении ее на 2 и вычитании оставшегося числа полученное значение будет кратным 7.

Это правило кажется немного более сложным, чем предыдущие, но на самом деле это не так уж и много, поэтому давайте рассмотрим пример: будет ли 98 делиться на 7?

Давайте следовать инструкциям: мы отделяем последнюю цифру, которая равна 8, мы умножаем ее на 2, что дает 16. Число, которое остается при разделении 8, равно 9. Мы вычитаем 16 - 9 = 7. И поскольку 7 делится на себя, 98 делится. между 7.

-Делимость на 11

Если сумму цифр в четной позиции (2, 4, 6…) вычесть из суммы цифр в нечетной позиции (1, 3, 5, 7…) и получится 0 или кратное 11, число будет делится на 11.

Первые числа, кратные 11, легко определить: это 11, 22, 33, 44… 99. Но будьте осторожны, 111 - нет, вместо 110.

В качестве примера давайте посмотрим, делится ли 143 на 11.

Это число состоит из 3 цифр, единственная четная цифра - 4 (вторая), две нечетные цифры - 1 и 3 (первая и третья), а их сумма равна 4.

Обе суммы вычитаются: 4-4 = 0, и поскольку получается 0, оказывается, что 143 делится на 11.

-Делимость на 13

Число без разряда единиц должно быть вычтено из 9-кратной этой цифры. Если счетчик возвращает 0 или кратное 13, число кратно 13.

В качестве примера мы проверим, что 156 делится на 13. Цифра из единиц равна 6, а число, которое остается без нее, равно 15. Мы умножаем 6 x 9 = 54 и теперь вычитаем 54 - 15 = 39.

Но 39 равно 3 x 13, поэтому 56 делится на 13.

Простые числа друг к другу

Два или более простых или составных числа могут быть простыми или совпадающими простыми числами. Это означает, что их единственный общий делитель равен 1.

Когда дело доходит до взаимных простых чисел, следует помнить о двух важных свойствах:

-Два, три и более последовательных числа всегда просты по отношению друг к другу.

-То же самое можно сказать о двух, трех и более последовательных нечетных числах.

Например, 15, 16 и 17 являются простыми числами друг для друга, а также 15, 17 и 19.

Как узнать, сколько делителей у составного числа

У простого числа два делителя, одно и то же число и 1. А сколько делителей у составного числа? Это могут быть двоюродные братья и сестры.

Пусть N - составное число, выраженное в терминах его канонического разложения следующим образом:

N = a ⁿ . б ^м . c ^p … r ^k

Где a, b, c… r - простые множители, а n, m, p… k - соответствующие показатели. Ну, количество делителей C, которое имеет N, определяется как:

C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)

С C = простые делители + составные делители + 1

Например, 570, что выражается так:

570 = 2 х 5 х 3 х 19

Все простые множители увеличиваются до 1, поэтому 570 имеет:

C = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 делителей

Из этих 10 делителей мы уже знаем: 1, 2, 3, 5, 19 и 570. Отсутствуют еще 10 делителей, которые являются составными числами: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 и 285. Их можно найти, наблюдая разложение на простые множители, а также умножая комбинации этих множителей вместе.

Решенные упражнения

- Упражнение 1

Разложите следующие числа на простые множители:

а) 98

б) 143

в) 540

г) 3705

Решение для

98 │2
49 │7
7 │7
1 │

98 = 2 х 7 х 7

Решение б

143 │11
13 │13
1 │

143 = 11 х 13

Решение c

540 │5
108 │2
54 │2
27 │3
9 │3
3 │3
1 │

540 = 5 х 2 х 2 х 3 х 3 х 3 = 5 х 2 ² х 3 ³

Решение d

3705 │5
741 │3
247 │13
19 │19
1 │

3705 = 5 х 3 х 13 х 19

- Упражнение 2.

Узнайте, являются ли следующие числа простыми между собой:

6, 14, 9

Решение

-Делители 6: 1, 2, 3, 6

-Что касается 14, то оно делится на: 1, 2, 7, 14

-Наконец, 9 имеет делители: 1, 3, 9

Единственный общий делитель, который у них есть - 1, поэтому они просты между собой.

Ссылки

1. Балдор, А. 1986. Арифметика. Издания и распространения Кодекса.
2. Быю. Простые и составные числа. Получено с: byjus.com.
3. Простые и составные числа. Получено с: profeyennyvivaslapresentacion.files.wordpress.com
4. Smartick. Критерии делимости. Получено с: smartick.es.
5. Wikipedia. Составные числа. Получено с: en.wikipedia.org.