ПОСТОЯННАЯ БОЛЬЦМАНА: ИСТОРИЯ, УРАВНЕНИЯ, ИСЧИСЛЕНИЕ, УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2025

Постоянная Больцмана - это значение, которое связывает среднюю кинетическую энергию термодинамической системы или объекта с их абсолютной температурой. Хотя их часто путают, температура и энергия - это не одно и то же.

Температура - это мера энергии, но не сама энергия. С помощью постоянной Больцмана они связаны друг с другом следующим образом:

Надгробие Больцмана в Вене. Источник: Дадро в английской Википедии.

Это уравнение справедливо для одноатомной молекулы идеального газа с массой m, где E _c - ее кинетическая энергия, выраженная в джоулях, k _B - постоянная Больцмана, а T - абсолютная температура в Кельвинах.

Таким образом, когда температура увеличивается, средняя кинетическая энергия, приходящаяся на молекулу вещества, также увеличивается, что и должно происходить. И наоборот, когда температура снижается, можно достичь точки, в которой, если все движение прекращается, достигается минимально возможная температура или абсолютный ноль.

Говоря о средней кинетической энергии, необходимо помнить, что кинетическая энергия связана с движением. А частицы могут двигаться разными способами, например, двигаться, вращаться или вибрировать. Конечно, не все они будут делать это одинаково, и, поскольку их несчетное количество, для характеристики системы берется среднее значение.

Некоторые энергетические состояния более вероятны, чем другие. Эта концепция имеет огромное значение в термодинамике. Энергия, рассматриваемая в предыдущем уравнении, является поступательной кинетической энергией. Вероятность состояний и ее связь с постоянной Больцмана будет обсуждаться немного позже.

В 2018 году Кельвин был пересмотрен, а вместе с ним и постоянная Больцмана, которая в Международной системе составляет приблизительно 1,380649 x 10 ^-23 Дж. К ^-1 . Гораздо большей точности можно достичь для постоянной Больцмана, которая была определена во многих лабораториях по всему миру различными методами.

история

Знаменитая константа получила свое название от физика из Вены Людвига Больцмана (1844–1906), который посвятил свою жизнь как ученый изучению статистического поведения систем со многими частицами с точки зрения ньютоновской механики.

Хотя сегодня существование атома общепризнано, в XIX веке вера в то, что атом действительно существовал или был уловкой, с помощью которой были объяснены многие физические явления, была предметом споров.

Больцман был стойким защитником существования атома и в свое время столкнулся с резкой критикой своей работы со стороны многих коллег, которые считали ее содержащей неразрешимые парадоксы.

Он заявил, что наблюдаемые явления на макроскопических уровнях можно объяснить статистическими свойствами составляющих частиц, таких как атомы и молекулы.

Возможно, эта критика была вызвана глубоким эпизодом депрессии, который заставил его покончить с собой в начале сентября 1906 года, когда ему еще предстояло многое сделать, так как он считался одним из великих физиков-теоретиков своего времени, и ему оставалось очень мало работы. что другие ученые способствуют подтверждению правдивости своих теорий.

Вскоре после его смерти были добавлены новые открытия о природе атома и составляющих его частиц, чтобы доказать правоту Больцмана.

Постоянная Больцмана и работы Планка

Постоянная Больцмана k _B, известная сегодня, была введена спустя некоторое время после работы австрийского физика. Макс Планк в своем законе излучения черного тела, который он представил в 1901 году, дал ему в то время значение 1,34 x 10 ^-23 Дж / К.

Примерно в 1933 году мемориальная доска с определением энтропии, включающей знаменитую константу: S = k _B log W, была добавлена ​​на надгробие Больцмана в Вене в качестве посмертной дани , уравнение, которое будет обсуждаться позже.

Сегодня постоянная Больцмана незаменима при применении законов термодинамики, статистической механики и теории информации, области, в которых этот печальный физик был пионером.

Значение и уравнения

Газы можно описывать как макроскопически, так и микроскопически. Для первого описания есть такие понятия, как плотность, температура и давление.

Однако следует помнить, что газ состоит из множества частиц, которые имеют общую тенденцию к определенному поведению. Именно эта тенденция измеряется макроскопически. Один из способов определения постоянной Больцмана - использование хорошо известного уравнения идеального газа:

Здесь p - давление газа, V - его объем, n - количество присутствующих молей, R - газовая постоянная, а T - температура. В моле идеального газа выполняется следующее соотношение между произведением pV и поступательной кинетической энергией K всего набора:

Следовательно, кинетическая энергия равна:

Разделив на общее количество присутствующих молекул, которое будет называться N, получим среднюю кинетическую энергию отдельной частицы:

В одном моле находится число частиц Авогадро N _A , и, следовательно, общее число частиц N = nN A, оставляя:

Точнее, отношение R / N _A - это постоянная Больцмана, что показывает, что средняя поступательная кинетическая энергия частицы зависит только от абсолютной температуры T, а не от других величин, таких как давление, объем или даже тип молекулы:

Постоянная Больцмана и энтропия

У газа есть заданная температура, но эта температура может соответствовать различным состояниям внутренней энергии. Как визуализировать эту разницу?

Рассмотрим одновременное подбрасывание 4 монет и способы их падения:

Способы, в которых 4 могут выпадать 4 монеты. Источник: самодельный

Набор монет может принимать в общей сложности 5 состояний, которые считаются макроскопическими, как показано на рисунке. Какое из этих состояний, по мнению читателя, является наиболее вероятным?

Ответом должно быть состояние 2 орла и 2 решки, потому что всего у вас есть 6 возможностей из 16, показанных на рисунке. Y 2 ⁴ = 16. Эти состояния равны микроскопическим.

Что если вместо 4 монет будет брошено 20 монет? Всего будет 2 ²⁰ возможностей или «микроскопических состояний». Это намного большее число, и с ним труднее справиться. Для облегчения работы с большими числами очень подходят логарифмы.

Что действительно кажется очевидным, так это то, что наиболее вероятно состояние с наибольшим расстройством. Более упорядоченные состояния, такие как 4 головки или 4 печати, немного менее вероятны.

Энтропия макроскопического состояния S определяется как:

Где w - количество возможных микроскопических состояний системы, а k _B - постоянная Больцмана. Поскольку ln w безразмерно, энтропия имеет те же единицы, что и k _B : Джоуль / K.

Это знаменитое уравнение на надгробии Больцмана в Вене. Однако важнее, чем энтропия, ее изменение:

Как вы рассчитываете k

Значение постоянной Больцмана получается экспериментально чрезвычайно точным способом с помощью измерений, основанных на акустической термометрии, которые выполняются с использованием свойства, которое устанавливает зависимость скорости звука в газе от его температуры.

В самом деле, скорость звука в газе определяется выражением:

B _{адиабатический} = γp

А ρ - плотность газа. Для приведенного выше уравнения p - давление рассматриваемого газа, а γ - адиабатический коэффициент, значение которого для данного газа находится в таблицах.

Метрологические институты также экспериментируют с другими способами измерения константы, такими как шумовая термометрия Джонсона, которая использует случайные тепловые колебания в материалах, особенно в проводниках.

Решенные упражнения

-Упражнение 1

Найти:

а) Средняя поступательная кинетическая энергия E _c, которую имеет молекула идеального газа при 25 ºC.

б) Поступательная кинетическая энергия K молекул в 1 моль этого газа

c) Средняя скорость молекулы кислорода при 25 ºC.

Факт

м _{кислорода} = 16 x 10 ^-3 кг / моль

Решение

а) Е _с = (3/2) K T = 1,5 х 1,380649 х 10 ^-23 Дж К ^-1 х 298 К = 6,2 × 10 ^-21 Дж

б) K = (3/2) nRT = 5 x 1 моль x 8,314 Дж / моль. K x 298 K = 3716 Дж

c) E _c = ½ mv ² , учитывая, что молекула кислорода двухатомная и молярную массу необходимо умножить на 2, мы будем иметь:

Найдите изменение энтропии, когда 1 моль газа, занимающего объем 0,5 м ^3, расширяется и занимает 1 м ³ .

Решение

ΔS = k _B ln (w ₂ / w ₁ )

Ссылки

1. Аткинс, П. 1999. Физическая химия. Издания Омега. 13-47.
2. Бауэр, В. 2011. Физика для инженерии и науки. Том 1. Мак Гроу Хилл. 664-672.
3. Джанколи, Д. 2006. Физика: принципы с приложениями. 6-е .. Эд Прентис Холл. 443-444.
4. Сирс, Земанский. 2016. Университетская физика с современной физикой. Четырнадцатое. Издание 1. 647-673.
5. ДА Новое определение. Кельвин: Константа Больцмана. Получено с: nist.gov