ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ: СВОЙСТВА, ПРИЛОЖЕНИЯ, ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2026

Дискретное преобразование Фурье является числовой метод , используемый для определения образцов , относящихся к спектральным частот , которые составляют сигнал. Он изучает периодические функции по замкнутым параметрам, давая в результате другой дискретный сигнал.

Чтобы получить дискретное преобразование Фурье N точек на дискретном сигнале, следующие 2 условия должны быть выполнены для последовательности x

TDF

Дискретное преобразование Фурье можно определить как N-точечную выборку преобразования Фурье.

Интерпретация дискретного преобразования Фурье

Источник: Pexels

Существуют две точки зрения, с которых результаты, полученные на последовательности x _s, могут быть интерпретированы посредством дискретного преобразования Фурье.

-Первый соответствует спектральным коэффициентам, уже известным из ряда Фурье. Это наблюдается в дискретных периодических сигналах с отсчетами, совпадающими с последовательностью x _s .

- Второй имеет дело со спектром дискретного апериодического сигнала с отсчетами, соответствующими последовательности x _s .

Дискретное преобразование - это приближение к спектру исходного аналогового сигнала. Его фаза зависит от моментов выборки, а величина - от интервала выборки.

Свойства

Алгебраические основы структуры составляют основу следующих разделов.

Линейность

C. S _n → C. F; Если последовательность умножается на скаляр, ее преобразование также будет.

Т _n + V _n = F + F; Преобразование суммы равно сумме преобразований.

Двойственность

F → (1 / N) S _-k; Если дискретное преобразование Фурье пересчитывается в уже преобразованное выражение, то же выражение получается, масштабируется в N и инвертируется относительно вертикальной оси.

Свертка

Преследуя те же цели, что и в преобразовании Лапласа, свертка функций относится к произведению их преобразований Фурье. Свертка также применима к дискретным временам и отвечает за многие современные процедуры.

X _n * R _n → F .F; Преобразование свертки равно произведению преобразований.

X _п . R _n → F * F; Преобразование продукта равно свертке преобразований.

Смещение

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) км} ; Если последовательность задерживается на m отсчетов, ее влияние на дискретное преобразование будет изменением угла, определяемого (2π / N) км.

симметричность

Х _т = Х * _т = Х _т

Модуляция

Вт ^-nm _Н . х ↔ X _т

Товар

ху ↔ (1 / N) X _t * Y _t

симметричность

Х ↔ Х _т = Х * _т

Конъюгировать

х * ↔ X * _т

Уравнение Парсеваля

Что касается обычного преобразования Фурье, оно имеет несколько сходств и различий. Преобразование Фурье преобразует последовательность в сплошную линию. Таким образом говорят, что результат переменной Фурье является сложной функцией действительной переменной.

Дискретное преобразование Фурье, в отличие от него, принимает дискретный сигнал и преобразует его в другой дискретный сигнал, то есть последовательность.

Для чего нужно дискретное преобразование Фурье?

Они служат в первую очередь для значительного упрощения уравнений при преобразовании производных выражений в элементы мощности. Обозначение дифференциальных выражений в интегрируемых полиномиальных формах.

При оптимизации, модуляции и моделировании результатов он действует как стандартизированное выражение, которое часто используется в инженерии после нескольких поколений.

Источник: pixabay

История

Это математическое понятие было введено Джозефом Б. Фурье в 1811 году при разработке трактата о распространении тепла. Он был быстро принят в различных областях науки и техники.

Он был установлен в качестве основного рабочего инструмента при изучении уравнений с частными производными, даже если сравнивать его с существующими рабочими отношениями между преобразованием Лапласа и обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Каждая функция, которая может работать с преобразованием Фурье, должна иметь значение null вне определенного параметра.

Дискретное преобразование Фурье и его обратное

Дискретное преобразование получается выражением:

После заданной дискретной последовательности X

Обратное к дискретному преобразованию Фурье определяется выражением:

Обратный ВОМ

Как только дискретное преобразование достигнуто, оно позволяет определить последовательность во временной области X.

Крылатый

Процесс параметризации, соответствующий дискретному преобразованию Фурье, заключается в обработке окон. Чтобы преобразовать, мы должны ограничить последовательность во времени. Во многих случаях рассматриваемые сигналы не имеют этих ограничений.

Последовательность, которая не соответствует критериям размера для применения к дискретному преобразованию, может быть умножена на «оконную» функцию V, определяющую поведение последовательности в управляемом параметре.

ИКС. V

Ширина спектра будет зависеть от ширины окна. По мере увеличения ширины окна вычисляемое преобразование будет уже.

Приложения

Расчет фундаментального решения

Дискретное преобразование Фурье - мощный инструмент в изучении дискретных последовательностей.

Дискретное преобразование Фурье преобразует функцию непрерывной переменной в преобразование дискретной переменной.

Задача Коши для уравнения теплопроводности представляет собой частую область применения дискретного преобразования Фурье . Когда генерируется основная функция тепла или ядра Дирихле, что применяется к значениям выборки в определенном параметре.

Теория сигналов

Общая причина применения дискретного преобразования Фурье в этой ветви в основном связана с характеристическим разложением сигнала как бесконечной суперпозиции более легко поддающихся обработке сигналов.

Это может быть звуковая волна или электромагнитная волна, дискретное преобразование Фурье выражает это в суперпозиции простых волн. Это представление довольно часто встречается в электротехнике.

Ряд Фурье

Это серии, определенные в терминах косинусов и синусов. Они служат для облегчения работы с общими периодическими функциями. При применении они являются частью методов решения обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных.

Ряды Фурье даже более общие, чем ряды Тейлора, потому что они развивают периодические разрывные функции, которые не имеют представления ряда Тейлора.

Другие формы рядов Фурье

Чтобы понять преобразование Фурье аналитически, важно рассмотреть другие способы, которыми можно найти ряд Фурье, пока мы не сможем определить ряд Фурье в его комплексной записи.

-Ряд Фурье от периода 2L:

Рассматривается интервал, который дает преимущества при использовании симметричных характеристик функций.

Если f четно, ряд Фурье устанавливается как ряд косинусов.

Если f нечетное, ряд Фурье устанавливается как ряд синусов.

-Сложные обозначения ряда Фурье

Если у нас есть функция f (t), которая удовлетворяет всем требованиям ряда Фурье, то ее можно обозначить в интервале, используя ее комплексное обозначение:

Примеры

Что касается расчета фундаментального решения, представлены следующие примеры:

С другой стороны, ниже приведены примеры применения дискретного преобразования Фурье в области теории сигналов:

-Проблемы идентификации системы. Созданы f и g

-Проблема с согласованностью выходного сигнала

-Проблемы с фильтрацией сигнала

упражнения

Упражнение 1

Вычислите дискретное преобразование Фурье для следующей последовательности.

Вы можете определить PTO x как:

X _t = {4, -j2, 0, j2} для k = 0, 1, 2, 3

Упражнение 2.

Мы хотим определить спектральный сигнал, определяемый выражением x (t) = e ^{-t, с} помощью цифрового алгоритма . Где максимальный коэффициент запроса частоты f _m = 1 Гц. Гармоника соответствует f = 0,3 Гц, погрешность не превышает 5%. Рассчитайте f _s , D и N.

Принимая во внимание теорему отсчета f _s = 2f _m = 2 Гц

Выбрано разрешение по частоте f ₀ = 0,1 Гц, из которого получаем D = 1 / 0,1 = 10 с.

0,3 Гц - частота, соответствующая индексу k = 3, где N = 3 × 8 = 24 отсчета. Это означает, что f _s = N / D = 24/10 = 2,4> 2

Поскольку цель состоит в том, чтобы получить наименьшее возможное значение для N, следующие значения можно рассматривать как решение:

f ₀ = 0,3 Гц

D = 1 / 0,3 = 3,33 с

k = 1

N = 1 × 8 = 8

Ссылки

1. Освоение дискретного преобразования Фурье в одном, двух или нескольких измерениях: подводные камни и артефакты. Исаак Амидрор. Springer Science & Business Media, 19 июля. 2013
2. ДПФ: Руководство по дискретному преобразованию Фурье. Уильям Л. Бриггс, Ван Эмден Хенсон. СИАМ, 1 янв. тысяча девятьсот девяносто пятый год
3. Цифровая обработка сигналов: теория и практика. Д. Сундарараджан. World Scientific, 2003 г.
4. Преобразования и быстрые алгоритмы анализа и представления сигналов. Гоань Би, Юнхун Цзэн. Springer Science & Business Media, 6 декабря. 2012 г.
5. Дискретные и непрерывные преобразования Фурье: анализ, приложения и быстрые алгоритмы. Элеонора Чу. CRC Press, 19 марта. 2008 г.