ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ: СВОЙСТВА, ПРИЛОЖЕНИЯ, ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА

Преобразование Фурье - это метод аналитической адекватности, ориентированный на интегрируемые функции, который принадлежит семейству интегральных преобразований. Он состоит из переопределения функций f (t) в терминах Cos (t) и Sen (t).

Тригонометрические тождества этих функций вместе с их характеристиками вывода и первообразного вывода служат для определения преобразования Фурье через следующую комплексную функцию:

Что верно до тех пор, пока выражение имеет смысл, то есть когда несобственный интеграл сходится. Алгебраически преобразование Фурье называется линейным гомеоморфизмом.

Каждая функция, которая может работать с преобразованием Фурье, должна иметь значение null вне определенного параметра.

Свойства

Источник: pexels

Преобразование Фурье соответствует следующим свойствам:

Существование

Чтобы проверить существование преобразования Фурье в функции f (t), определенной в вещественных числах R , должны быть выполнены следующие 2 аксиомы:

f (t) кусочно непрерывна для всех R
f (t) интегрируема в R

Линейность преобразования Фурье

Пусть M (t) и N (t) - любые две функции с определенными преобразованиями Фурье с любыми константами a и b.

F (z) = a F (z) + b F (z)

Что также подтверждается линейностью одноименного интеграла.

Преобразование Фурье производной

Существует функция f, непрерывная и интегрируемая во всех вещественных числах, где:

А производная f (f ') непрерывна и кусочно определена на протяжении R

Преобразование Фурье производной определяется интегрированием по частям следующим выражением:

F (z) = iz F (z)

В выводах более высокого порядка он будет применяться гомологичным образом, где для всех n 1 мы имеем:

F (z) = (iz) ⁿF (z)

Дифференцирование преобразованием Фурье

Существует функция f, непрерывная и интегрируемая во всех вещественных числах, где:

Преобразование Фурье перевода

Для каждого θ , принадлежащего множеству S, и T , принадлежащему множеству S ', мы имеем:

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

С τ _a, работающим в качестве оператора перевода вектора a.

Перевод преобразования Фурье

Для каждого θ , принадлежащего множеству S, и T , принадлежащему множеству S ', мы имеем:

τ _а F = F τ _а F = F

Для всех из которых принадлежат R

Преобразование Фурье масштабной группы

Для всех θ , принадлежащих множеству S. T , принадлежащему множеству S '

λ, принадлежащей R - {0}, имеем:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ )

F = (1 / -λ-) F (y / λ )

Если f - непрерывная и явно интегрируемая функция, где a> 0. Тогда:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

Чтобы продемонстрировать этот результат, мы можем перейти к замене переменной.

Когда T → +, то s = at → + ∞

Когда T → -, то s = at → - ∞

симметричность

Чтобы изучить симметрию преобразования Фурье, необходимо проверить тождество Парсеваля и формулы Планшереля.

У нас есть θ и δ, принадлежащие S. Отсюда можно вывести, что:

Получение

1 / (2π) ^d { F, F } тождество Парсеваля

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L²_R^d Формула Планшереля

Преобразование Фурье сверточного продукта

Преследуя те же цели, что и в преобразовании Лапласа, свертка функций относится к произведению их преобразований Фурье.

У нас есть f и g как 2 ограниченные, определенные и полностью интегрируемые функции:

F (f * g) = F (f). F (г)

F (f). F (g) = F (F. G)

Непрерывность и падение в бесконечность

Для чего нужно преобразование Фурье?

Он служит в первую очередь для значительного упрощения уравнений, при этом производные выражения преобразуются в элементы мощности, обозначающие дифференциальные выражения в форме интегрируемых полиномов.

При оптимизации, модуляции и моделировании результатов он действует как стандартизированное выражение, которое часто используется в инженерии после нескольких поколений.

Ряд Фурье

Это серии, определенные в терминах косинусов и синусов; Они служат для облегчения работы с общими периодическими функциями. При применении они являются частью методов решения обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных.

Ряды Фурье даже более общие, чем ряды Тейлора, потому что они развивают периодические разрывные функции, которые не имеют представления ряда Тейлора.

Другие формы рядов Фурье

Чтобы понять преобразование Фурье аналитически, важно рассмотреть другие способы, которыми можно найти ряд Фурье, до тех пор, пока ряд Фурье не может быть определен в его комплексной записи.

-Ряд Фурье от периода 2L

Часто бывает необходимо адаптировать структуру ряда Фурье к периодическим функциям с периодом p = 2L> 0 в интервале.

-Ряд Фурье по нечетным и четным функциям

Рассматривается интервал, который дает преимущества при использовании симметричных характеристик функций.

Если f четно, ряд Фурье устанавливается как ряд косинусов.

Если f нечетное, ряд Фурье устанавливается как ряд синусов.

-Сложные обозначения ряда Фурье

Если у нас есть функция f (t), которая удовлетворяет всем требованиям развиваемости ряда Фурье, ее можно обозначить в интервале, используя ее комплексное обозначение:

Приложения

Источник: pexels

Расчет фундаментального решения

Преобразование Фурье - мощный инструмент при изучении дифференциальных уравнений в частных производных линейного типа с постоянными коэффициентами. Они одинаково применимы к функциям с неограниченными областями.

Как и преобразование Лапласа, преобразование Фурье преобразует функцию частной производной в обыкновенное дифференциальное уравнение, гораздо более простое в использовании.

Задача Коши для уравнения теплопроводности представляет собой область частого применения преобразования Фурье, где генерируется ядро тепла или функция ядра Дирихле.

Что касается вычисления фундаментального решения, представлены следующие случаи, в которых обычно находят преобразование Фурье:

Теория сигналов

Общая причина применения преобразования Фурье в этой ветви в основном связана с характеристическим разложением сигнала как бесконечной суперпозиции более легко поддающихся обработке сигналов.

Это может быть звуковая волна или электромагнитная волна, преобразование Фурье выражает это в суперпозиции простых волн. Это представление довольно часто встречается в электротехнике.

С другой стороны, это примеры применения преобразования Фурье в области теории сигналов:

Примеры

Пример 1

Определите преобразование Фурье для следующего выражения:

Мы также можем представить это в следующем виде:

F (t) = Sen (t)

Прямоугольный импульс определяется:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

Преобразование Фурье применяется к следующему выражению, которое напоминает теорему модуляции.

f (t) = p (t) Sen (t)

Где: F = (1/2) i

А преобразование Фурье определяется следующим образом:

F = (1/2) я

Пример 2

Определите преобразование Фурье для выражения:

Поскольку f (h) - четная функция, можно утверждать, что

Интегрирование по частям применяется путем выбора переменных и их дифференциалов следующим образом

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

DV = ч (е ^-h ) ² v = (е ^-h ) ² /2

Подставив у вас

После оценки согласно основной теореме исчисления

Применяя предшествующие знания относительно дифференциальных уравнений первого порядка, выражение обозначается как

Чтобы получить K, оценим

Наконец, преобразование Фурье выражения определяется как

Предлагаемые упражнения

Получим преобразование выражения W / (1 + w ² )

Ссылки

Duoandikoetxea Zuazo, J., Анализ Фурье. Аддисон - Уэсли Ибероамерикана, Автономный университет Мадрида, 1995.
Лайонс, Дж. Л., Математический анализ и численные методы в науке и технике. Спрингер - Верлаг, 1990.
Либ, EH, гауссовские ядра имеют только гауссовские максимизаторы. Изобретать. Математика. 102 , 179-208, 1990.
Дим, Х., Маккин, HP, ряды Фурье и интегралы. Академик Пресс, Нью-Йорк, 1972.
Шварц, Л., Теория распределений. Под ред. Германа, Париж, 1966.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ: СВОЙСТВА, ПРИЛОЖЕНИЯ, ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2026