ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ: КОМПОЗИЦИЯ, ВИДЫ И ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2024

В изометрических преобразованиях являются изменениями положения или ориентации данной фигуры , которые не изменяют форму или размер этого. Эти преобразования делятся на три типа: перенос, поворот и отражение (изометрия). В общем, геометрические преобразования позволяют создать новую фигуру из заданной.

Превращение в геометрическую фигуру означает, что она каким-то образом претерпела некоторые изменения; то есть было изменено. По смыслу оригинала и подобия на плоскости геометрические преобразования можно разделить на три типа: изометрические, изоморфные и анаморфные.

характеристики

Изометрические преобразования происходят, когда величины сегментов и углы между исходной фигурой и преобразованной фигурой сохраняются.

В этом типе трансформации не изменяется ни форма, ни размер фигуры (они совпадают), это только изменение ее положения, либо в ориентации, либо в направлении. Таким образом, начальная и конечная фигуры будут подобны и геометрически совпадают.

Изометрия относится к равенству; Другими словами, геометрические фигуры будут изометрическими, если они имеют одинаковую форму и размер.

При изометрических преобразованиях единственное, что можно наблюдать, - это изменение положения на плоскости, происходит жесткое движение, благодаря которому фигура переходит из исходного положения в конечное. Эта фигура называется гомологичной (подобной) оригиналу.

Есть три типа движений, которые классифицируют изометрическое преобразование: перемещение, вращение и отражение или симметрия.

Типы

По переводу

Это те изометрии, которые позволяют всем точкам плоскости перемещаться по прямой в заданном направлении и на заданное расстояние.

Когда фигура трансформируется перемещением, она не меняет своей ориентации по отношению к исходному положению, а также не теряет своих внутренних мер, размеров своих углов и сторон. Этот тип смещения определяется тремя параметрами:

- Одно направление, которое может быть горизонтальным, вертикальным или наклонным.

- Одно направление, которое может быть влево, вправо, вверх или вниз.

- Расстояние или величина, которая представляет собой длину от начальной позиции до конца любой точки, которая движется.

Для выполнения изометрического преобразования путем перевода должны быть выполнены следующие условия:

- Фигура всегда должна сохранять все свои размеры, как линейные, так и угловые.

- фигура не меняет своего положения относительно горизонтальной оси; то есть его угол никогда не меняется.

- Переводы всегда будут сведены в один, независимо от количества выполненных переводов.

В плоскости, где центром является точка O с координатами (0,0), перемещение определяется вектором T (a, b), который указывает смещение начальной точки. То есть:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Например, если применить сдвиг T (-4, 7) к координатной точке P (8, -2), мы получим:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '= P' (4, 5)

На следующем изображении (слева) можно увидеть, как точка C переместилась, чтобы совпасть с D. Это произошло в вертикальном направлении, направление было вверх, а расстояние или величина CD составили 8 метров. На правом изображении наблюдается перевод треугольника:

По ротации

Это те изометрии, которые позволяют фигуре вращать все точки плоскости. Каждая точка вращается по дуге, имеющей постоянный угол и определенную фиксированную точку (центр вращения).

То есть все вращение будет определяться его центром вращения и углом поворота. Когда фигура трансформируется вращением, она сохраняет размеры своих углов и сторон.

Вращение происходит в определенном направлении, оно положительное, когда вращается против часовой стрелки (направление, противоположное тому, как стрелки часов вращаются) и отрицательное, когда вращение идет по часовой стрелке.

Если точка (x, y) повернута относительно начала координат, то есть ее центр вращения равен (0,0), на угол 90 ^или 360, ^либо координаты точек будут:

В случае, когда вращение не имеет центра в начале координат, начало системы координат должно быть перенесено в новое заданное начало, чтобы иметь возможность вращать фигуру с началом координат в качестве центра.

Например, если к точке P (-5,2) применяется поворот на 90 ^или , вокруг начала координат и положительно, ее новые координаты равны (-2,5).

Отражением или симметрией

Это те преобразования, которые переворачивают точки и фигуры плоскости. Эта инверсия может относиться к точке или к прямой.

Другими словами, в этом типе преобразования каждая точка исходной фигуры связана с другой точкой (изображением) гомологической фигуры таким образом, что точка и ее изображение находятся на одинаковом расстоянии от линии, называемой осью симметрии. .

Таким образом, левая часть фигуры будет отражением правой части без изменения ее формы или размеров. Симметрия превращает фигуру в другую, равную, но в противоположном направлении, как видно на следующем изображении:

Симметрия присутствует во многих аспектах, например, у некоторых растений (подсолнухи), животных (павлин) и природных явлений (снежинки). Человек отражает это на своем лице, что считается фактором красоты. Отражение или симметрия бывает двух типов:

Центральная симметрия

Это то преобразование, которое происходит по отношению к точке, в которой фигура может менять свою ориентацию. Каждая точка исходной фигуры и ее изображение находятся на одинаковом расстоянии от точки O, называемой центром симметрии. Симметрия имеет центральное значение, когда:

- И точка, и ее изображение, и центр принадлежат одной линии.

- При повороте центра O на 180 ^o получается фигура, равная исходной.

- Линии исходной фигуры параллельны линиям образовавшейся фигуры.

- Смысл фигуры не меняется, он всегда будет по часовой стрелке.

Состав вращения

Комбинация двух витков с одним и тем же центром приводит к другому повороту, который имеет тот же центр и амплитуда которого будет суммой амплитуд двух витков.

Если центр поворотов имеет другой центр, разрез биссектрисы двух отрезков с одинаковыми точками будет центром поворота.

Композиция симметрии

В этом случае состав будет зависеть от того, как он наносится:

- Если одна и та же симметрия применяется дважды, результатом будет идентичность.

- Если две симметрии применяются относительно двух параллельных осей, результатом будет сдвиг, и его смещение будет вдвое больше расстояния этих осей:

- Если две симметрии применяются по отношению к двум осям, которые пересекаются в точке O (центр), будет получен поворот с центром в O, и его угол будет в два раза больше угла, образованного осями:

Ссылки

1. V Буржуа, JF (1988). Материалы для построения геометрии. Мадрид: Синтез.
2. Сезар Калавера, Эй Джей (2013). Технический рисунок II. Паранинфо С.А.: Издания Башни.
3. Кокстер, Х. (1971). Основы геометрии. Мексика: Лимуса-Вили.
4. Коксфорд, А. (1971). Геометрия Трансформационный подход. США: братья Лэйдлоу.
5. Лилиана Синьерис, RS (2005). Индукция и формализация в обучении жестким преобразованиям в среде CABRI.
6. , PJ (1996). Группа изометрий плоскости. Мадрид: Синтез.
7. Суарес, AC (2010). Преобразования в плоскости. Гурабо, Пуэрто-Рико: AMCT.