ТЕССЕЛЯЦИИ: ХАРАКТЕРИСТИКА, ТИПЫ (РЕГУЛЯРНЫЕ, НЕПРАВИЛЬНЫЕ), ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2026

В тайлингах являются поверхностями с покрытием один или более цифрами называемой мозаикой. Они везде: на улицах и в самых разных зданиях. Плитка или плитка - это плоские части, обычно многоугольники с конгруэнтными или изометрическими копиями, которые размещаются по правильному шаблону. Таким образом, не остается незащищенных пространств, а плитки или мозаики не перекрываются.

В случае использования мозаики одного типа, образованной правильным многоугольником, применяется обычная тесселяция, но если используются два или более типов правильных многоугольников, то это полурегулярная тесселяция.

Рис. 1. Плиточный пол с неровной мозаикой, потому что прямоугольники - неправильные многоугольники, хотя квадраты - неправильные. Источник: Pixabay.

Наконец, когда многоугольники, образующие тесселяцию, не являются правильными, это нерегулярная тесселяция.

Самый распространенный тип мозаики - это мозаика прямоугольной и особенно квадратной формы. На рисунке 1 представлен хороший пример.

История мозаики

Тысячелетиями мозаика использовалась для покрытия полов и стен дворцов и храмов разных культур и религий.

Например, шумерская цивилизация, которая процветала около 3500 г. до н.э. к югу от Месопотамии, между реками Евфрат и Тигр, использовала мозаику в своей архитектуре.

Рис. 2. Шумерские мозаики у ворот Истар. Источник: Wikimedia Commons.

Тесселяция также вызвала интерес у математиков всех возрастов: начиная с Архимеда в III веке до нашей эры, затем Иоганна Кеплера в 1619 году, Камиллы Джордана в 1880 году и до наших дней с Роджером Пенроузом.

Пенроуз создал непериодическую тесселяцию, известную как тесселяция Пенроуза. Это всего лишь несколько имен ученых, внесших большой вклад в тесселяцию.

Обычные мозаики

Обычные мозаики создаются с помощью только одного типа правильных многоугольников. С другой стороны, чтобы мозаика считалась регулярной, каждая точка плоскости должна:

-Принадлежит к внутренней части многоугольника

-Или к краю двух соседних полигонов

-Наконец, он может принадлежать общей вершине как минимум трех многоугольников.

С указанными выше ограничениями можно показать, что только равносторонние треугольники, квадраты и шестиугольники могут образовывать правильную мозаику.

Номенклатура

Существует номенклатура для обозначения мозаики, которая состоит из перечисления в направлении по часовой стрелке и разделенных точкой, количества сторон многоугольников, окружающих каждый узел (или вершину) мозаики, всегда начиная с многоугольника с наименьшим номером. стороны.

Эта номенклатура применяется к обычным и полурегулярным мозаикам.

Пример 1: Треугольная мозаика

На рисунке 3 показана правильная треугольная мозаика. Следует отметить, что каждый узел треугольной мозаики является общей вершиной шести равносторонних треугольников.

Способ обозначения этого типа тесселяции - 3.3.3.3.3.3, который также обозначается 3 ⁶ .

Рис. 3. Тесселяция правильных треугольников 3.3.3.3.3.3. Источник: wikimedia commons

Пример 2: квадратная мозаика

На рисунке 4 показана обычная мозаика, состоящая только из квадратов. Следует отметить, что каждый узел тесселяции окружен четырьмя равными квадратами. Обозначения, которые применяются к этому типу квадратной мозаики: 4.4.4.4 или альтернативно 4 ⁴

Рисунок 4. Квадратная мозаика 4.4.4.4. Источник: wikimedia commons.

Пример 3: шестиугольная мозаика

В шестиугольной мозаике каждый узел окружен тремя правильными шестиугольниками, как показано на рисунке 5. Номенклатура для правильной шестиугольной мозаики - 6.6.6 или, альтернативно, 6 ³ .

Рисунок 5. Шестиугольная мозаика 6.6.6. Источник: wikimedia commons.

Полурегулярные тесселяции

Полурегулярные или архимедовы мозаики состоят из двух или более типов правильных многоугольников. Каждый узел окружен типами полигонов, составляющих тесселяцию, всегда в одном и том же порядке, а граничное условие полностью разделяется с соседом.

Есть восемь полурегулярных мозаик:

1. 3.6.3.6 (трехгексагональная мозаика)
2. 3.3.3.3.6 (тупая шестиугольная мозаика)
3. 3.3.3.4.4 (удлиненная треугольная мозаика)
4. 3.3.4.3.4 (тупая квадратная мозаика)
5. 3.4.6.4 (ромботри-гексагональная мозаика)
6. 4.8.8 (тесселяция усеченных квадратов)
7. 3.12.12 (усеченная гексагональная мозаика)
8. 4.6.12 (усеченная трехгексагональная мозаика)

Некоторые примеры полурегулярных мозаик показаны ниже.

Пример 4: трехгексагональная мозаика

Это тот, который состоит из равносторонних треугольников и правильных шестиугольников в структуре 3.6.3.6, что означает, что узел тесселяции окружен (до завершения одного поворота) треугольником, шестиугольником, треугольником и шестиугольником. На рисунке 6 показана такая тесселяция.

Рисунок 6. Трехгексагональная тесселяция (3.6.3.6) - пример полурегулярной тесселяции. Источник: Wikimedia Commons.

Пример 5: тупая шестиугольная мозаика

Как и тесселяция в предыдущем примере, эта также состоит из треугольников и шестиугольников, но их распределение вокруг узла равно 3.3.3.3.6. Рисунок 7 наглядно иллюстрирует этот тип тесселяции.

Рис. 7. Тупая шестиугольная мозаика состоит из шестиугольника, окруженного 16 треугольниками в конфигурации 3.3.3.3.6. Источник: Wikimedia Commons.

Пример 6: мозаика из ромбов и трех шестиугольников

Это мозаика, состоящая из треугольников, квадратов и шестиугольников в конфигурации 3.4.6.4, показанной на рисунке 8.

Рис. 8. Полурегулярная мозаика, состоящая из треугольника, квадрата и шестиугольника в конфигурации 3.4.6.4. Источник: Wikimedia Commons.

Нерегулярная мозаика

Нерегулярные мозаики - это мозаики, образованные неправильными многоугольниками или правильными многоугольниками, но не отвечающие критерию, согласно которому узел является вершиной по крайней мере трех многоугольников.

Пример 7

На рисунке 9 показан пример нерегулярной тесселяции, в которой все многоугольники правильные и совпадают. Это нерегулярно, потому что узел не является общей вершиной по крайней мере трех квадратов, а также есть соседние квадраты, которые не полностью разделяют ребро.

Рис. 9. Несмотря на то, что все плитки представляют собой одинаковые квадраты, это наглядный пример неправильной мозаики. Источник: Ф. Сапата.

Пример 8

Параллелограмм покрывает плоскую поверхность, но если он не квадрат, он не может образовывать регулярную мозаику.

Рис. 10. Тесселяция, образованная параллелограммами, является неправильной, поскольку ее мозаика представляет собой нерегулярные многоугольники. Источник: Ф. Сапата.

Пример 9

Неправильные шестиугольники с центральной симметрией образуют мозаику на плоской поверхности, как показано на следующем рисунке:

Рис. 11. Шестиугольники с центральной симметрией, даже если они не являются правильными, разбивают плоскость мозаикой. Источник: Ф. Сапата.

Пример 10: мозаика Каира

Это очень интересная мозаика, состоящая из пятиугольников со сторонами равной длины, но с неравными углами, два из которых прямые, а три других - по 120 градусов.

Его название происходит от того факта, что эта мозаика встречается на тротуаре некоторых улиц Каира в Египте. На рисунке 12 показана мозаика Каира.

Рисунок 12. Каирская тесселяция. Источник: Wikimedia Commons.

Пример 11: мозаика Аль-Андалус

Тесселяция в некоторых частях Андалусии и Северной Африки характеризуется геометрией и эпиграфией, а также элементами орнамента, такими как растительность.

Тесселяция дворцов, таких как Альгамбра, была составлена ​​из плиток, составленных из керамических частей многих цветов, с множеством (если не бесконечностью) форм, которые развязывались в геометрические узоры.

Рисунок 13. Тесселяция дворца Альгамбра. Тарталья / Общественное достояние

Пример 12: тесселяция в видеоиграх

Это одна из самых популярных новинок в видеоиграх, также известная как тезеляция. Речь идет о создании текстур для имитации тесселяции различных сценариев, которые появляются в симуляторе.

Это явное отражение того, что эти покрытия продолжают развиваться, выходя за рамки реальности.

Ссылки

1. Наслаждайтесь математикой. Тесселяции. Получено с: Enjoymatematicas.com
2. Рубиньос. Примеры разрешенных мозаик. Получено с: matematicasn.blogspot.com
3. Вайсштейн, Эрик У. "Демирегулярная тесселяция". Weisstein, Eric W, ed. MathWorld. Wolfram Research.
4. Wikipedia. Тесселяция. Получено с: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Обычная тесселяция. Получено с: es.wikipedia.com