ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА: ПРИМЕРЫ И РЕШЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2024

Теорема Varignon утверждает , что если четырехугольник непрерывно соединены середины сторон, параллелограмм генерируется. Эта теорема была сформулирована Пьером Вариньоном и опубликована в 1731 году в книге «Элементы математики».

Публикация книги произошла спустя годы после его смерти. Поскольку эту теорему ввел Вариньон, параллелограмм назван в его честь. Теорема основана на евклидовой геометрии и представляет геометрические отношения четырехугольников.

Что такое теорема Вариньона?

Вариньон заявил, что фигура, определяемая серединами четырехугольника, всегда будет иметь параллелограмм, а площадь параллелограмма всегда будет составлять половину площади четырехугольника, если он плоский и выпуклый. Например:

На рисунке вы можете увидеть четырехугольник с областью X, где середины сторон представлены буквами E, F, G и H и при соединении образуют параллелограмм. Площадь четырехугольника будет суммой площадей треугольников, которые образуются, и половина этой площади соответствует площади параллелограмма.

Поскольку площадь параллелограмма составляет половину площади четырехугольника, можно определить периметр этого параллелограмма.

Таким образом, периметр равен сумме длин диагоналей четырехугольника; это потому, что середины четырехугольника будут диагоналями параллелограмма.

С другой стороны, если длины диагоналей четырехугольника одинаковы, параллелограмм будет ромбом. Например:

Из рисунка видно, что, соединив середины сторон четырехугольника, получается ромб. С другой стороны, если диагонали четырехугольника перпендикулярны, параллелограмм будет прямоугольником.

Также параллелограмм будет квадратом, если у четырехугольника диагонали одинаковой длины и они также перпендикулярны.

Теорема выполняется не только в плоских четырехугольниках, но и в пространственной геометрии или в больших размерах; то есть в тех четырехугольниках, которые не являются выпуклыми. Примером этого может быть октаэдр, где средние точки являются центроидами каждой грани и образуют параллелепипед.

Таким образом, соединяя середины разных фигур, можно получить параллелограммы. Простой способ проверить, действительно ли это правда, - это то, что противоположные стороны должны быть параллельны при растяжении.

Примеры

Первый пример

Продолжение противоположных сторон, чтобы показать, что это параллелограмм:

Второй пример

Соединяя середины ромба, получается прямоугольник:

Теорема используется в объединении точек, расположенных в середине сторон четырехугольника, а также может использоваться для других типов точек, таких как трисечение, пятисечение или даже бесконечное количество секций ( nth), чтобы разделить стороны любого четырехугольника на пропорциональные сегменты.

Решенные упражнения

Упражнение 1

На рисунке мы видим четырехугольник ABCD площади Z, середины сторон которого - PQSR. Убедитесь, что параллелограмм вариньона сформирован.

Решение

Можно видеть, что при соединении точек PQSR образуется параллелограмм Вариньона именно потому, что середины четырехугольника указаны в утверждении.

Чтобы продемонстрировать это, сначала соединяются средние точки PQSR, поэтому можно видеть, что образуется еще один четырехугольник. Чтобы показать, что это параллелограмм, вам нужно только провести прямую линию от точки C к точке A, чтобы было видно, что CA параллельна PQ и RS.

Таким же образом при расширении сторон PQRS можно увидеть, что PQ и RS параллельны, как показано на следующем изображении:

Упражнение 2.

У нас есть прямоугольник, у которого длины всех сторон равны. Соединяя середины этих сторон, образуется ромб ABCD, который разделен двумя диагоналями AC = 7 см и BD = 10 см, которые совпадают с размерами сторон прямоугольника. Определите площади ромба и прямоугольника.

Решение

Помня, что площадь полученного параллелограмма составляет половину четырехугольника, их площадь можно определить, зная, что размер диагоналей совпадает со сторонами прямоугольника. Итак, вам необходимо:

AB = D

CD = d

_{Прямоугольник} = (АВ _* CD) = (10 см _* 7 см) = 70 см ²

_Ромб = А _{прямоугольник} / 2

_Ромба = 70 см ² /2 = 35 см ²

Упражнение 3.

На рисунке изображен четырехугольник, имеющий объединение точек EFGH, длины отрезков даны. Определите, является ли объединение EFGH параллелограммом.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

HR = 3,94 HA = 2,77

Решение

Поскольку длины сегментов указаны, можно проверить, есть ли пропорциональность между сегментами; то есть вы можете узнать, параллельны ли они, связав сегменты четырехугольника следующим образом:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Затем проверяется пропорциональность, так как:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Точно так же, рисуя линию от точки B к точке D, можно увидеть, что EH параллельно BD, так же как BD параллельно FG. С другой стороны, EF параллелен GH.

Таким образом, можно определить, что EFGH - параллелограмм, поскольку противоположные стороны параллельны.

Ссылки

1. Андрес, Т. (2010). Математическая олимпиада Tresure. Springer. Нью-Йорк.
2. Барбоса, JL (2006). Плоская евклидова геометрия. SBM. Рио де Жанейро.
3. Ховар, Э. (1969). Изучение геометрии. Мексика: латиноамериканец - американец.
4. Рамо, ГП (1998). Неизвестные решения проблем Ферма-Торричелли. ISBN - Самостоятельная работа.
5. Вера, Ф. (1943). Элементы геометрии. Богота
6. Вильерс, М. (1996). Некоторые приключения в евклидовой геометрии. Южная Африка.