ТЕОРЕМА ТЕВЕНИНА: ИЗ ЧЕГО ОНА СОСТОИТ, ПРИЛОЖЕНИЯ И ПРИМЕРЫ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2026

Теорема Тевенина утверждает, что цепь с выводами A и B может быть заменена одним эквивалентом, состоящим из источника и последовательного сопротивления, значения которого дают такую ​​же разность потенциалов между A и B и такое же полное сопротивление, что и исходная схема. .

Эта теорема была известна в 1883 году французским инженером Леоном Шарлем Тевенином, но утверждается, что она была сформулирована тридцатью годами раньше немецким физиком Германом фон Гельмгольцем.

Рисунок 1. Теорема Тевенина. Источник: самодельный

Его полезность заключается в том, что, даже когда исходная схема сложна или неизвестна, для целей нагрузки или импеданса, который помещается между клеммами A и B, простая эквивалентная схема Тевенина ведет себя так же, как исходная. .

Как шаг за шагом рассчитывается эквивалентное напряжение?

Напряжение или разность потенциалов эквивалентной схемы можно получить следующими способами:

- экспериментально

Получение эквивалентного напряжения Тевенина

Если это устройство или оборудование, находящиеся в «черном ящике», разность потенциалов между клеммами A и B измеряется с помощью вольтметра или осциллографа. Очень важно, чтобы между клеммами A и B не было нагрузки или сопротивления.

Вольтметр или осциллограф не отображают нагрузку на клеммы, поскольку оба устройства имеют очень большой импеданс (в идеале бесконечный), и это выглядело бы так, как если бы клеммы A и B были без нагрузки. Напряжение или напряжение, полученное таким образом, является эквивалентным напряжением Тевенина.

Получение эквивалентного сопротивления Тевенина

Чтобы получить эквивалентный импеданс путем экспериментального измерения, между клеммами A и B помещают известное сопротивление, а падение напряжения или сигнал напряжения измеряют с помощью осциллографа.

По падению напряжения на известном сопротивлении между выводами можно определить ток, протекающий через него.

Произведение тока, полученного при эквивалентном сопротивлении, на падение напряжения, измеренное при известном сопротивлении, равно ранее полученному эквивалентному напряжению Тевенина. Из этого равенства очищается эквивалентный импеданс Тевенина.

- Решение схемы

Расчет эквивалентного напряжения Тевенина

Сначала любая нагрузка или полное сопротивление отключаются от клемм A и B.

Поскольку схема известна, для определения напряжения на выводах применяется теория сеток или законы Кирхгофа. Это напряжение будет эквивалентом Тевенина.

Расчет эквивалентного сопротивления Тевенина

Чтобы получить эквивалентный импеданс, перейдите к:

- Замените источники напряжения исходной цепи короткими замыканиями с «нулевым импедансом», а источники тока исходной цепи разомкнутыми «бесконечным сопротивлением».

- Затем эквивалентный импеданс рассчитывается по правилам последовательного и параллельного импедансов.

Приложения теоремы Тевенина (часть I)

Мы применим теорему Тевенина для решения некоторых схем. В этой первой части мы рассмотрим схему, в которой есть только источники напряжения и резисторы.

Пример 1а (пошаговый расчет эквивалентного напряжения)

На рисунке 2 показана схема, которая находится в небесном ящике с двумя батареями электродвижущей силы V1 и V2 соответственно и резисторами R1 и R2, схема имеет клеммы A и B, к которым может быть подключена нагрузка.

Рис. 2. Пример 1 теоремы Тевенина. Источник: самодельный

Цель состоит в том, чтобы найти эквивалентную схему Тевенина, то есть определить значения Vt и Rt эквивалентной схемы. Примените следующие значения: V1 = 4V, V2 = 1V, R1 = 3Ω, R2 = 6Ω и R = 1Ω.

Пошаговое решение

Шаг 1

Мы определим напряжение на клеммах A и B, когда на них нет нагрузки.

Шаг 2

Схема, которую предстоит решить, состоит из единственной сетки, по которой циркулирует ток I, положительный по часовой стрелке.

Шаг 3

Мы проходим сетку, начиная с левого нижнего угла. Путь приводит к следующему уравнению:

V1 - I * R1 - I * R2 - V2 = 0

Шаг 4

Решаем для тока сетки I и получаем:

I = (V1 -V2) / (R1 + R2) = (4V - 1V) / (3Ω + 6Ω) = ⅓ A

Шаг 5

С помощью тока сетки мы можем определить разницу напряжений между A и B, которая составляет:

Vab = V1 - I * R1 = 4V - ⅓ A * 3Ω = 3V

Другими словами, эквивалентное напряжение Тевенина: Vt = 3V.

Шаг 6 (эквивалентное сопротивление Тевенину)

Теперь приступим к вычислению эквивалентного сопротивления Тевенина, для которого, как уже упоминалось ранее, источники напряжения заменяются кабелем.

В этом случае у нас есть только два параллельно подключенных резистора, поэтому эквивалентное сопротивление Тевенина составляет:

Rt = (R1 * R2) / (R1 + R2) = (3Ω * 6Ω) / (3Ω + 6Ω) = 2Ω

Пример 1b (ток в нагрузке с использованием эквивалента Тевенина)

Подключите в качестве нагрузки к клеммам A и B сопротивление R = 1 Ом к эквивалентной схеме и найдите ток, протекающий через указанную нагрузку.

Решение

Когда сопротивление R подключено к эквивалентной схеме Тевенина, мы получаем простую схему, которая состоит из источника Vt и сопротивления Rt, включенного последовательно с сопротивлением R.

Мы будем называть Ic током, протекающим через нагрузку R, чтобы уравнение сетки выглядело так:

Vt - Ic * Rt - Ic * R = 0

из чего следует, что Ic определяется как:

Ic = Vt / (Rt + R) = 3 В / (2 Ом + 1 Ом) = 1 А

Доказательство теоремы Тевенина

Чтобы проверить, что теорема Тевенина верна, подключите R к исходной цепи и найдите ток, текущий через R, применив сеточный закон к получившейся цепи.

Результирующая схема остается, а ее сеточные уравнения остаются такими, как показано на следующем рисунке:

Рисунок 3. Сеточные токи. (Собственная разработка)

Добавляя сеточные уравнения, можно найти сеточный ток I1 как функцию тока I2. Затем оно подставляется во второе уравнение сетки, и уравнение остается с I2 в качестве единственного неизвестного. В следующей таблице показаны операции.

Рисунок 4. Подробная информация об операциях. (Собственная разработка)

Затем подставляются значения сопротивления и напряжения источников, получая численное значение тока сетки I2.

Рисунок 5. Детализация результатов. (Собственная разработка)

Сеточный ток I2 - это ток, который протекает через сопротивление нагрузки R, и найденное значение 1 А полностью совпадает с ранее найденным с эквивалентной схемой Тевенина.

Применение теоремы Тевенина (часть II)

Во второй части теорема Тевенина будет применена в цепи, имеющей источники напряжения, источники тока и сопротивления.

Пример 2а (эквивалентное сопротивление Тевенину)

Задача состоит в том, чтобы определить эквивалентную схему Тевенина, соответствующую схеме на следующем рисунке, когда клеммы не имеют сопротивления 1 Ом, затем устанавливается сопротивление и определяется ток, протекающий через него.

Рисунок 6. Пример схемы 2. (Собственная разработка)

Решение

Чтобы найти эквивалентное сопротивление, снимите сопротивление нагрузки (в данном случае 1 Ом). Кроме того, источники напряжения заменяются коротким замыканием, а источники тока - разомкнутой цепью.

Таким образом, схема, для которой будет вычислено эквивалентное сопротивление, показана ниже:

Рисунок 7. Деталь для расчета эквивалентного сопротивления (собственная разработка)

Rab = (12 Ом * 4 Ом) / (12 Ом + 4 Ом) = 3 Ом, что является эквивалентным сопротивлением Тевенина (Rth).

Пример 2б

Рассчитайте эквивалентное напряжение Тевенина.

Решение

Чтобы вычислить эквивалентное напряжение Тевенина, мы рассмотрим следующую схему, в которой мы разместим токи в I1 и I2 в ветвях, указанных на следующем рисунке:

Рисунок 8. Детали для расчета напряжения Тевенина. (Собственная разработка)

На предыдущем рисунке уравнение текущих узлов и уравнение напряжений показаны при пересечении внешней сетки. Из второго уравнения очищается ток I1:

I1 = 2 - I2 * (5/3)

Это уравнение подставляется в уравнение узлов:

I2 = 2 - (5/3) I2 + 2 ===> I2 (8/3) = 4 ===> I2 = 12/8 = 1,5 А

Это означает, что падение напряжения на резисторе 4 Ом составляет 6 вольт.

Короче говоря, напряжение Тевенина составляет Vth = 6 В.

Пример 2c

Найдите эквивалентную схему Тевенина и ток в нагрузочном резисторе.

Рисунок 9. Ток в нагрузке с эквивалентом Тевенина. (Собственная разработка)

Решение

На предыдущем рисунке показана эквивалентная схема Тевенина с сопротивлением нагрузки R. Из уравнения напряжения в сетке, ток I, протекающий через сопротивление нагрузки R.

I = Vth / (Rth + R) = 6 В / (3 Ом + 1 Ом) = 1,5 А

Применение теоремы Тевенина (часть III)

В этой третьей части применения теоремы Тевенина рассматривается цепь переменного тока, которая содержит источник переменного напряжения, конденсатор, индуктивность и сопротивление.

Пример 3

Цель состоит в том, чтобы найти схему Тевенина, эквивалентную следующей цепи:

Рисунок 10. Тевенин в цепи переменного тока. (Собственная разработка)

Решение

Эквивалентный импеданс соответствует конденсатору, включенному параллельно с последовательной комбинацией сопротивления и индуктивности.

Значение, обратное эквивалентному импедансу, определяется как:

Zeq ^ -1 = (-5j) ^ - 1 + (5 + 5j) ^ - 1 = (1/5) j + ((1/10 + (1/10) j) = (1/10 + 3 / 10 j) Mho

Тогда эквивалентный импеданс будет:

Zeq = (1 - 3 Дж) Ом

Комплексный ток I может быть получен из уравнения сетки:

50V∠0 - I (-5 j + 5 + 5j) = 50V∠0 - I * 5 = 0 ===> I = 10A 0

Теперь рассчитывается падение напряжения в сопротивлении плюс индуктивность, то есть напряжение Vab, которое будет эквивалентным напряжению Тевенина:

Vab = I * (5 + 5 Дж) Ω = 10A 0 * 5Ω∠45º = 50V∠45º

Другими словами, эквивалентное напряжение имеет такое же пиковое значение исходного источника, но сдвинуто по фазе на 45 градусов: Vth = 50V∠45º.

Ссылки

1. Учебники по электронике, теорема Тевенина. Восстановлено с: electronics-tutorials.ws
2. Вопросы и ответы по теории сетей. Теорема Тевенина. Получено с: sanfoundry.com
3. Теорема Тевенина. Пошаговая процедура. Получено с: electrictechnology.org
4. Теорема Тевенина. Решенный пример пошагово. Получено с: electricsimple.blogspot.com
5. Практикум по теоремам Тевенина и Нортона. Получено с: web.iit.edu
6. Wikipedia. Теорема Тевенина. Получено с: wikipedia.com