Теорема Грина - это метод вычисления, используемый для соединения линейных интегралов, двойных интегралов или площади поверхности. Используемые функции должны быть обозначены как векторные поля и определены в пути C.
Например, выражение линейного интеграла может быть очень сложно решить; однако при реализации теоремы Грина двойные интегралы становятся довольно простыми. Всегда важно соблюдать положительное направление траектории, это относится к направлению против часовой стрелки.
Теорема Грина является частным случаем теоремы Стокса, где проекция вектор-функции осуществляется на плоскость xy.
Определение
Выражение теоремы Грина выглядит следующим образом:
Первый член показывает линейный интеграл, определенный путем «C» скалярного произведения между векторной функцией «F» и векторной функцией «r».
C: Это определенный путь, по которому будет проецироваться векторная функция, если она определена для этой плоскости.
F: Векторная функция, где каждый из ее компонентов определяется функцией как таковой (f, g).
r: это вектор, касательный к области R, по которой определяется интеграл. В этом случае мы оперируем дифференциалом этого вектора.
Во втором слагаемом мы видим развитие теоремы Грина, в которой наблюдается двойной интеграл, определенный в области R разности частных производных g и f по x и y соответственно. Дифференциалом площадей, который является не чем иным, как произведением двух двумерных дифференциалов (dx.dy).
Эта теорема прекрасно применима для пространственных и поверхностных интегралов.
демонстрация
Чтобы доказать теорему Грина простым способом, эта задача будет разбита на 2 части. Прежде всего, мы предположим, что вектор-функция F имеет определение только в версоре i. При этом функция «g», соответствующая версору j, будет равна нулю.
Автор
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
г = х я + у j
dr = dx i + dy j
Сначала мы вычисляем линейный интеграл по пути C, для которого путь был разделен на 2 участка, которые идут сначала от a до b, а затем от b до a.
Определение основной теоремы исчисления применяется для определенного интеграла.
Выражение преобразуется в единый интеграл, отрицательное значение превращается в общий множитель, а порядок множителей меняется на обратный.
При детальном рассмотрении этого выражения становится очевидным, что при применении критериев примитивной функции мы находимся в присутствии интеграла выражения, полученного из f, по y. Оценивается в параметрах
Теперь достаточно предположить, что вектор-функция F определена только для g (x, y) j . Если при работе аналогично предыдущему случаю получается следующее:
В заключение два доказательства взяты и объединены в случае, когда векторная функция принимает значения для обоих вариантов. Таким образом, показано, как линейный интеграл после определения и рассмотрения как одномерной траектории может быть полностью развит для плоскости и пространства.
F = f (x, y) я + g (x, y) j
Таким образом доказана теорема Грина.
Приложения
Теорема Грина широко применяется в областях физики и математики. Они распространяются на любое приложение или использование, которое может быть предоставлено линейной интеграции.
Механическая работа, совершаемая силой F по пути C, может быть выражена линейным интегралом, который выражается как двойной интеграл площади по теореме Грина.
Моменты инерции многих тел, подверженных внешним силам в различных точках приложения, также реагируют на линейные интегралы, которые можно получить с помощью теоремы Грина.
Он имеет множество функций при изучении сопротивления используемых материалов. Где внешние ценности могут быть количественно определены и приняты во внимание до разработки различных элементов.
В общем, теорема Грина облегчает понимание и определение областей, в которых векторные функции определены по отношению к области вдоль пути.
История
Он был опубликован в 1828 году в работе «Математический анализ теорий электричества и магнетизма», написанной британским математиком Джорджем Грином. В нем исследуются весьма важные разделы применения исчисления в физике, такие как концепция потенциальных функций, функции Грина и приложения его одноименной теоремы.
Джордж Грин официально оформил свою студенческую карьеру в 40 лет, будучи до сих пор математиком-самоучкой. После обучения в Кембриджском университете он продолжил свои исследования, внося вклад в акустику, оптику и гидродинамику, которые актуальны и сегодня.
Связь с другими теоремами
Теорема Грина - частный случай, и она вытекает из двух других очень важных теорем в области исчисления. Это теорема Кельвина-Стокса и дивергенция или теорема Гаусса Остроградского.
Исходя из любой из двух теорем, можно прийти к теореме Грина. Для развития таких доказательств необходимы определенные определения и предложения.
упражнения
- В следующем упражнении показано, как преобразовать линейный интеграл в двойной интеграл относительно области R.
Исходное выражение следующее:
Откуда берутся соответствующие функции af и g
f (x, y) = x 3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Не существует единого способа определить пределы интегрирования при применении теоремы Грина. Но есть способы, позволяющие упростить интегралы после их определения. Так что оптимизация пределов интеграции заслуживает внимания.
Где при решении интегралов получаем:
Это значение в кубических единицах соответствует области ниже векторной функции и области треугольника, определяемой C.
В случае линейного интеграла без использования метода Грина потребовалось бы параметризовать функции в каждом разделе области. То есть выполните 3 параметризованных интеграла для разрешения. Это достаточное свидетельство эффективности, которую Роберт Грин привнес в расчет своей теоремой.
Ссылки
- Введение в механику сплошной среды. W Майкл Лай, Дэвид Х. Рубин, Эрхард Кремпль, Дэвид Рубин Баттерворт-Хайнеманн, 23 июля. 2009 г.
- Многомерное исчисление. Джеймс Стюарт. Cengage Learning, 22 марта 2011
- Неформальная история теоремы Грина и связанных с ней идей. Джеймс Джозеф Кросс. Математический факультет Мельбурнского университета, 1975 г.
- Теплопроводность с использованием функций Грина. Кевин Д. Коул, Джеймс В. Бек, А. Хаджи-Шейх, Бахман Литкоухи. Тейлор и Фрэнсис, 16 июля 2010
- Применение теоремы Грина к экстремизму линейных интегралов. Центр оборонно-технической информации, 1961 г.