ТЕОРЕМА ЕВКЛИДА: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, ПРИМЕНЕНИЕ И УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2026

Теорема Евклида показывает свойства треугольника, как рисовать линию, разделяющую его на два новых треугольника, которые похожи и, в свою очередь, похожи на исходный треугольник; тогда возникает соотношение пропорциональности.

Евклид был одним из величайших математиков и геометров древности, выполнившим несколько доказательств важных теорем. Один из основных - тот, который носит его имя, получивший широкое распространение.

Это произошло потому, что с помощью этой теоремы она просто объясняет геометрические отношения, существующие в прямоугольном треугольнике, где катеты треугольника связаны со своими проекциями на гипотенузу.

Формулы и демонстрация

Теорема Евклида предполагает, что в каждом прямоугольном треугольнике, когда рисуется линия - которая представляет высоту, которая соответствует вершине прямого угла относительно гипотенузы - два прямоугольных треугольника формируются из оригинала.

Эти треугольники будут похожи друг на друга, а также будут похожи на исходный треугольник, что означает, что их одинаковые стороны пропорциональны друг другу:

Углы трех треугольников равны; то есть, когда они повернуты на 180 градусов вокруг своей вершины, один угол совпадает с другим. Это означает, что все они будут одинаковыми.

Таким образом, сходство, которое существует между тремя треугольниками, можно также проверить по равенству их углов. Из подобия треугольников Евклид устанавливает их пропорции с помощью двух теорем:

- Теорема о высоте.

- Теорема о ногах.

Эта теорема имеет широкое применение. В древние времена его использовали для расчета высот или расстояний, что было большим достижением тригонометрии.

В настоящее время он применяется в различных областях, основанных на математике, таких как инженерия, физика, химия и астрономия, а также во многих других областях.

Теорема о высоте

В этой теореме установлено, что в любом прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла относительно гипотенузы, является геометрическим пропорциональным средним (квадратом высоты) между проекциями катетов, которые он определяет на гипотенузу.

То есть квадрат высоты будет равен произведению спроецированных катетов, образующих гипотенузу:

ч _с ² = м _* п

демонстрация

Для треугольника ABC, который находится прямо в вершине C, при построении высоты образуются два похожих прямоугольных треугольника: ADC и BCD; следовательно, их соответствующие стороны пропорциональны:

Таким образом, высота h _c , соответствующая отрезку CD, соответствует гипотенузе AB = c, таким образом, мы имеем:

В свою очередь, это соответствует:

Решая гипотенузу (h _c ), умножая два члена равенства, мы имеем:

ч _{с *} ч _{с =} м _* п

ч _с ² = м _* п

Таким образом, значение гипотенузы определяется как:

Теорема о ногах

В этой теореме установлено, что в каждом прямоугольном треугольнике мерой каждого катета будет среднее геометрическое пропорциональное (квадрат каждого катета) между мерой гипотенузы (полной) и проекцией каждого из них на нее:

б ² = с _* м

а ² = с _* п

демонстрация

Дан треугольник ABC, который находится прямо в вершине C таким образом, что его гипотенуза равна c, при построении высоты (h) определяются проекции катетов a и b, которые являются отрезками m и n соответственно и лежат на гипотенуза.

Таким образом, мы имеем, что высота, нарисованная на прямоугольном треугольнике ABC, порождает два похожих прямоугольных треугольника, ADC и BCD, так что соответствующие стороны пропорциональны, например:

DB = n - проекция катета CB на гипотенузу.

AD = m, которая представляет собой проекцию катета AC на гипотенузу.

Тогда гипотенуза c определяется суммой катетов ее проекций:

с = т + п

Благодаря схожести треугольников ADC и BCD имеем:

Вышеупомянутое такое же, как:

Решив для ноги «а» умножить два члена равенства, мы имеем:

а _* а = с _* п

а ² = с _* п

Таким образом, значение отрезка «а» определяется по формуле:

Таким же образом, благодаря схожести треугольников ACB и ADC, мы имеем:

Вышеуказанное равно:

Решив для ноги "b" умножить два члена равенства, мы имеем:

б _* б = с _* м

б ² = с _* м

Таким образом, значение отрезка "b" определяется по формуле:

Связь между теоремами Евклида

Теоремы, касающиеся высоты и катетов, связаны друг с другом, потому что оба измеряются относительно гипотенузы прямоугольного треугольника.

Через соотношение теорем Евклида можно также найти значение высоты; это возможно, решив значения m и n из теоремы о ногах, и они заменены в теореме о высоте. Таким образом достигается, что высота равна произведению катетов, разделенных на гипотенузу:

б ² = с _* м

m = b ² ÷ c

а ² = с _* п

п = а ² ÷ с

В теореме о высоте заменим m и n:

ч _с ² = м _* п

h _c ² = (b ² ÷ c) _* (a ² ÷ c)

h _c = (b ² _* a ² ) ÷ c

Решенные упражнения

Пример 1

Дан треугольник ABC, прямо в точке A, определите размер AC и AD, если AB = 30 см и BD = 18 см.

Решение

В этом случае у нас есть измерения одной из спроецированных сторон (BD) и одной из сторон исходного треугольника (AB). Таким образом, можно применить теорему о ноге, чтобы найти значение отрезка BC.

AB ² = BD _* BC

(30) ² = 18 _* ВС

900 = 18 _* до н.э.

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 см

Значение отрезка CD можно найти, зная, что BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 см

Теперь можно определить значение отрезка AC, снова применив теорему о ноге:

AC ² = CD _* BD

AC ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = √1600 = 40 см

Для определения значения высоты (AD) применяется теорема о высоте, так как известны значения проецируемых опор CD и BD:

² н.э. = 32 _* 18

^{2 год} нашей эры = 576 г.

AD = √576

AD = 24 см

Пример 2

Определите значение высоты (h) треугольника MNL прямо в N, зная размеры отрезков:

NL = 10 см

МН = 5 см

PM = 2 см

Решение

У нас есть размер одного из катетов, спроецированных на гипотенузу (PM), а также меры катетов исходного треугольника. Таким образом, можно применить теорему о ногах, чтобы найти значение другой спроецированной ноги (LN):

NL ² = PM _* LM

(10) ² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Поскольку значение катетов и гипотенузы уже известно, через взаимосвязь теорем о высоте и катетах можно определить значение высоты:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b ² _* a ² ) ÷ c.

ч = (10 ² _* 5 ² ) ÷ (20)

ч = (100 _* 25) ÷ (20)

в = 2500 ÷ 20

h = 125 см.

Ссылки

1. Браун, Э. (2011). Хаос, фракталы и странности. Фонд экономической культуры.
2. Кабрера, В.М. (1974). Современная математика, Том 3.
3. Даниэль Эрнандес, DP (2014). 3-й курс математики. Каракас: Сантильяна.
4. Британская энциклопедия, я. (тысяча девятьсот девяносто пятый год). Испанская энциклопедия: Macropedia. Энциклопедия Britannica Publishers.
5. Евклид, RP (1886). Элементы геометрии Евклида.
6. Гуарденьо, AJ (2000). Наследие математики: от Евклида до Ньютона, гении через свои книги. Севильский университет.