ТЕОРЕМА ЧЕБЫШОВА: ЧТО ЭТО ТАКОЕ, ПРИЛОЖЕНИЯ И ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2024

Теорема Чебышева (Чебышев или неравенство) является одним из наиболее важных классических результатов теории вероятностей. Он позволяет оценить вероятность события, описанного в терминах случайной величины X, предоставляя нам границу, которая зависит не от распределения случайной величины, а от дисперсии X.

Теорема названа в честь русского математика Пафнутия Чебышова (также известного как Чебичев или Чебышев), который, несмотря на то, что не был первым, кто сформулировал теорему, первым дал доказательство в 1867 году.

Это неравенство или те, которые из-за своих характеристик называют неравенством Чебышова, используется в основном для аппроксимации вероятностей путем вычисления высот.

Из чего он состоит?

При изучении теории вероятностей оказывается, что, если функция распределения случайной величины X известна, ее ожидаемое значение - или математическое ожидание E (X) - и ее дисперсия Var (X) могут быть вычислены, если только такие суммы существуют. Однако обратное не всегда верно.

То есть, зная E (X) и Var (X), не обязательно можно получить функцию распределения X, поэтому такие величины, как P (-X-> k) для некоторого k> 0, получить очень трудно. Но благодаря неравенству Чебышова можно оценить вероятность случайной величины.

Теорема Чебышова говорит нам, что если у нас есть случайная величина X в пространстве выборок S с функцией вероятности p, и если k> 0, то:

Приложения и примеры

Среди множества приложений теоремы Чебышова можно отметить следующие:

Предельные вероятности

Это наиболее распространенное приложение, которое используется для получения верхней границы для P (-XE (X) -≥k), где k> 0, только с дисперсией и математическим ожиданием случайной величины X, без знания функции вероятности .

Пример 1

Предположим, что количество продуктов, произведенных компанией в течение недели, - случайная величина со средним значением 50.

Если известно, что отклонение производства за одну неделю равно 25, то что мы можем сказать о вероятности того, что объем производства на этой неделе будет отличаться от среднего более чем на 10?

Решение

Применяя неравенство Чебышова, имеем:

Отсюда мы можем получить, что вероятность того, что в производственную неделю количество изделий превышает среднее значение более чем на 10, составляет не более 1/4.

Доказательство предельных теорем.

Неравенство Чебышова играет важную роль в доказательстве важнейших предельных теорем. В качестве примера у нас есть следующее:

Слабый закон больших чисел

Этот закон гласит, что для данной последовательности X1, X2,…, Xn,… независимых случайных величин с одинаковым средним распределением E (Xi) = μ и дисперсией Var (X) = σ ² и известной выборкой среднего значения:

Тогда при k> 0 имеем:

Или, что то же самое:

демонстрация

Прежде всего отметим следующее:

Поскольку X1, X2,…, Xn независимы, отсюда следует, что:

Таким образом, можно констатировать следующее:

Тогда, используя теорему Чебышова, имеем:

Наконец, теорема вытекает из того факта, что предел справа равен нулю, когда n приближается к бесконечности.

Следует отметить, что этот тест был сделан только для случая, когда существует дисперсия Xi; то есть не расходится. Таким образом, мы замечаем, что теорема всегда верна, если E (Xi) существует.

Предельная теорема Чебышова

Если X1, X2,…, Xn,… - последовательность независимых случайных величин такая, что существует некоторая C <бесконечность, такая что Var (Xn) ≤ C для всех натуральных n, то для любого k> 0:

демонстрация

Поскольку последовательность дисперсий равномерно ограничена, имеем Var (Sn) ≤ C / n для всех натуральных n. Но мы знаем, что:

Если n стремиться к бесконечности, мы получим следующие результаты:

Поскольку вероятность не может превышать значение 1, желаемый результат получается. Как следствие этой теоремы можно упомянуть частный случай Бернулли.

Если эксперимент повторяется n раз независимо с двумя возможными исходами (неудача и успех), где p - вероятность успеха в каждом эксперименте, а X - случайная величина, представляющая количество достигнутых успехов, то для каждого k> 0 ты должен:

Размер образца

С точки зрения дисперсии неравенство Чебышова позволяет нам найти размер выборки n, достаточный для гарантии того, что вероятность того, что -Sn-μ -> = k имеет место, настолько мала, насколько желательно, что позволяет нам иметь приближение к среднему.

В частности, пусть X1, X2,… Xn будет выборкой независимых случайных величин размера n, и предположим, что E (Xi) = μ и ее дисперсия σ ² . Тогда по неравенству Чебышова имеем:

пример

Предположим, что X1, X2,… Xn являются выборкой независимых случайных величин с распределением Бернулли, так что они принимают значение 1 с вероятностью p = 0,5.

Каким должен быть размер выборки, чтобы гарантировать, что вероятность того, что разница между средним арифметическим Sn и его ожидаемым значением (превышающим более чем на 0,1), будет меньше или равна 0,01?

Решение

Мы имеем, что E (X) = μ = p = 0,5 и что Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0,25. По неравенству Чебышова для любого k> 0 имеем:

Теперь, принимая k = 0,1 и δ = 0,01, имеем:

Таким образом, делается вывод, что размер выборки не менее 2500 необходим, чтобы гарантировать, что вероятность события -Sn - 0,5 -> = 0,1 будет меньше 0,01.

Неравенства типа Чебышова

Есть несколько неравенств, связанных с неравенством Чебышова. Одно из самых известных - неравенство Маркова:

В этом выражении X - неотрицательная случайная величина с k, r> 0.

Неравенство Маркова может принимать разные формы. Например, пусть Y - неотрицательная случайная величина (так что P (Y> = 0) = 1), и предположим, что E (Y) = μ существует. Предположим также, что (E (Y)) ^r = μ _r существует для некоторого целого r> 1. Так:

Другое неравенство - гауссово, которое говорит нам, что для унимодальной случайной величины X с модой в нуле, тогда для k> 0,

Ссылки

1. Кай Лай Чунг. Элементарная теория вероятностей со случайными процессами. Springer-Verlag New York Inc
2. Кеннет Х. Розен, Дискретная математика и ее приложения. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Пол Л. Мейер. Вероятность и статистические приложения. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Сеймур Липшуц Ph.D. 2000 Решенные задачи дискретной математики. МакГроу-Хилл.
5. Сеймур Липшуц Ph.D. Теория и проблемы теории вероятностей. МакГроу-Хилл.