Теорема Больцано утверждает, что если функция непрерывна в каждой точке отрезка и удовлетворяется, что изображения «a» и «b» (под функцией) имеют противоположные знаки, то будет по крайней мере одна точка » c "в открытом интервале (a, b) таким образом, что функция, вычисленная в" c ", будет равна 0.
Эта теорема была сформулирована философом, теологом и математиком Бернаром Больцано в 1850 году. Этот ученый, родившийся на территории современной Чешской Республики, был одним из первых математиков в истории, которые официально доказали свойства непрерывных функций.
объяснение
Теорема Больцано также известна как теорема о промежуточных значениях, которая помогает в определении конкретных значений, особенно нулей, некоторых реальных функций действительной переменной.
В данной функции f (x) продолжается, то есть f (a) и f (b) соединены кривой-, где f (a) находится ниже оси x (она отрицательна), а f (b) на над осью x (она положительна), или наоборот, графически будет точка отсечки на оси x, которая будет представлять промежуточное значение «c», которое будет между «a» и «b», и значение f (c) будет равно 0.
При графическом анализе теоремы Больцано можно увидеть, что для каждой непрерывной функции f, определенной на интервале, где f (a) * f (b) меньше 0, будет по крайней мере один корень «c» этой функции в пределах отрезка (a, b).
Эта теорема не устанавливает количество точек в этом открытом интервале, она только утверждает, что существует как минимум 1 точка.
демонстрация
Для доказательства теоремы Больцано без ограничения общности предполагается, что f (a) <0 и f (b)> 0; таким образом, может быть много значений между «a» и «b», для которых f (x) = 0, но нужно показать только одно.
Начнем с вычисления f в средней точке (a + b) / 2. Если f ((a + b) / 2) = 0, то на этом доказательство заканчивается; в противном случае, тогда f ((a + b) / 2) положительно или отрицательно.
Выбирается одна из половин интервала так, чтобы знаки функции, вычисленной на крайних точках, были разными. Этот новый интервал будет.
Теперь, если f, вычисленное в средней точке, не равно нулю, то выполняется та же операция, что и раньше; то есть выбирается половина этого интервала, удовлетворяющая условию знаков. Пусть это будет новый интервал.
Если вы продолжите этот процесс, у вас будут две последовательности {an} и {bn}, такие что:
{an} увеличивается, а {bn} уменьшается:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Если вы рассчитываете длину каждого интервала, вам необходимо:
б1-а1 = (ба) / 2.
b2-a2 = (ba) / 2².
….
бн-ан = (ба) / 2 ^ п.
Следовательно, предел, когда n приближается к бесконечности (bn-an), равен 0.
Используя то, что {an} возрастает и ограничено, а {bn} убывает и ограничено, мы получаем, что существует значение «c» такое, что:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤… .≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Предел an равен «c», а предел {bn} также равен «c». Следовательно, для любого δ> 0 всегда существует «n» такое, что интервал содержится в интервале (c-δ, c + δ).
Теперь необходимо показать, что f (c) = 0.
Если f (c)> 0, то, поскольку f непрерывна, существует ε> 0 такое, что f положительно на всем интервале (c - ε, c + ε). Однако, как упоминалось выше, существует такое значение «n», что f меняет знак и, более того, содержится в (c - ε, c + ε), что является противоречием.
Если f (c) <0, то, поскольку f непрерывна, существует ε> 0 такое, что f отрицательно на всем интервале (c - ε, c + ε); но существует такое значение "n", что f меняет вход. Оказывается, он содержится в (c - ε, c + ε), что тоже противоречит.
Следовательно, f (c) = 0, и это то, что мы хотели доказать.
Для чего это?
Графическая интерпретация теоремы Больцано позволяет найти корни или нули в непрерывной функции посредством деления пополам (приближения), которое представляет собой метод возрастающего поиска, который всегда делит интервалы на 2.
Затем берется интервал или происходит смена знака, и процесс повторяется до тех пор, пока интервал не становится все меньше и меньше, чтобы можно было приблизиться к желаемому значению; то есть до значения, которое функция делает 0.
Таким образом, чтобы применить теорему Больцано и таким образом найти корни, ограничить нули функции или дать решение уравнения, выполняются следующие шаги:
- Проверяется, является ли f непрерывной функцией на интервале.
- Если интервал не указан, необходимо найти его, где функция является непрерывной.
- Проверяется, имеют ли крайние значения интервала противоположные знаки при оценке в f.
- Если противоположные знаки не получены, интервал необходимо разделить на два подинтервала с помощью средней точки.
- Оцените функцию в средней точке и убедитесь, что гипотеза Больцано выполняется, где f (a) * f (b) <0.
- В зависимости от знака (положительного или отрицательного) найденного значения процесс повторяется с новым подинтервалом до тех пор, пока вышеупомянутая гипотеза не будет выполнена.
Решенные упражнения
Упражнение 1
Определите, имеет ли функция f (x) = x 2 - 2 хотя бы одно действительное решение в интервале.
Решение
У нас есть функция f (x) = x 2 - 2. Поскольку она полиномиальна, это означает, что она непрерывна в любом интервале.
Его просят определить, есть ли у него реальное решение в интервале, поэтому теперь необходимо только подставить концы интервала в функцию, чтобы узнать их знак и знать, соответствуют ли они условию отличия:
е (х) = х 2 - 2
f (1) = 1 2 - 2 = -1 (отрицательный)
f (2) = 2 2 - 2 = 2 (положительный результат)
Следовательно, знак f (1) ≠ sign f (2).
Это гарантирует, что существует хотя бы одна точка «c», принадлежащая интервалу, в котором f (c) = 0.
В этом случае значение «c» легко вычислить следующим образом:
х 2 - 2 = 0
х = ± √2.
Таким образом, √2 ≈ 1,4 принадлежит интервалу и удовлетворяет условию f (√2) = 0.
Упражнение 2.
Покажите, что уравнение x 5 + x + 1 = 0 имеет хотя бы одно действительное решение.
Решение
Прежде всего отметим, что f (x) = x 5 + x + 1 - это полиномиальная функция, что означает, что она непрерывна для всех действительных чисел.
В этом случае интервал не указан, поэтому значения должны быть выбраны интуитивно, предпочтительно близкими к 0, чтобы оценить функцию и найти изменения знака:
Если вы используете интервал, вам необходимо:
е (х) = х 5 + х + 1.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 1 5 + 1 + 1 = 3> 0.
Поскольку смены знака нет, процесс повторяется с другим интервалом.
Если вы используете интервал, вам необходимо:
е (х) = х 5 + х + 1.
е (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
В этом интервале происходит смена знака: знак f (-1) ≠ знак f (0), что означает, что функция f (x) = x 5 + x + 1 имеет хотя бы один действительный корень «c» в интервале, такой что f (c) = 0. Другими словами, верно, что x 5 + x + 1 = 0 имеет действительное решение в интервале.
Ссылки
- Бронштейн I, СК (1988). Пособие по математике для инженеров и студентов. . Редакция МИР.
- Джордж А. (1994). Математика и разум. Издательство Оксфордского университета.
- Илин V, ЧП (1991). Математический анализ. В трех томах. .
- Хесус Гомес, ФГ (2003). Учителя среднего образования. Том II. СУМАСШЕДШИЙ.
- Матеос, ML (2013). Основные свойства анализа в R. Editores, 20 дек.
- Пискунов, Н. (1980). Дифференциальное и интегральное исчисление. .
- Сидсэтер К, HP (2005). Математика для экономического анализа. Феликс Варела.
- Уильям Х. Баркер, RH (nd). Непрерывная симметрия: от Евклида до Клейна. American Mathematical Soc.