Теорема Бернулли , которая описывает поведение жидкости в движении, была сформулирована математиком и физиком Даниэлем Бернулли в его работе «Гидродинамика». Согласно принципу идеальная жидкость (без трения и вязкости), которая циркулирует по замкнутому каналу, будет иметь постоянную энергию на своем пути.
Теорема может быть выведена из принципа сохранения энергии и даже из второго закона движения Ньютона. Кроме того, принцип Бернулли также устанавливает, что увеличение скорости жидкости подразумевает уменьшение давления, которому она подвергается, уменьшение ее потенциальной энергии или и то, и другое одновременно.
Даниэль Бернулли
Теорема имеет множество различных приложений, как в мире науки, так и в повседневной жизни людей.
Его последствия проявляются в подъемной силе самолетов, в дымовых трубах домов и промышленных предприятий, в водопроводных трубах и в других областях.
Уравнение Бернулли
Хотя Бернулли был тем, кто пришел к выводу, что давление уменьшается при увеличении расхода, правда в том, что именно Леонард Эйлер фактически разработал уравнение Бернулли в той форме, в которой оно известно сегодня.
В любом случае уравнение Бернулли, которое является не чем иным, как математическим выражением его теоремы, выглядит следующим образом:
v 2 ∙ ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = константа
В этом выражении v - скорость жидкости через рассматриваемое сечение, ƿ - плотность жидкости, P - давление жидкости, g - значение ускорения свободного падения, а z - высота, измеренная в направлении гравитации.
В уравнении Бернулли подразумевается, что энергия жидкости состоит из трех компонентов:
- Кинетический компонент, который является результатом скорости движения жидкости.
- Потенциальная или гравитационная составляющая, связанная с высотой, на которой находится жидкость.
- Энергия давления, то есть энергия, которой обладает жидкость в результате давления, которому она подвергается.
С другой стороны, уравнение Бернулли также можно выразить так:
v 1 2 ∙ ƿ / 2 + P 1 + ƿ ∙ g ∙ z 1 = v 2 2 ∙ ƿ / 2 + P 2 + ƿ ∙ g ∙ z 2
Это последнее выражение очень удобно для анализа изменений, которые испытывает жидкость, когда изменяется любой из элементов, составляющих уравнение.
Упрощенная форма
В некоторых случаях изменение члена ρgz уравнения Бернулли минимально по сравнению с тем, которое испытывают другие члены, поэтому им можно пренебречь. Например, это происходит при токах, которые испытывает самолет в полете.
В этих случаях уравнение Бернулли выражается следующим образом:
P + q = P 0
В этом выражении q - динамическое давление и эквивалентно v 2 ∙ ƿ / 2, а P 0 - это то, что называется полным давлением, и представляет собой сумму статического давления P и динамического давления q.
Приложения
Теорема Бернулли имеет множество разнообразных приложений в самых разных областях, таких как наука, инженерия, спорт и т. Д.
Интересное применение находит в дизайне каминов. Дымоходы построены высоко, чтобы добиться большей разницы давлений между основанием и выходом дымохода, благодаря чему легче отводить дымовые газы.
Конечно, уравнение Бернулли применимо и к изучению движения потоков жидкости в трубах. Из уравнения следует, что уменьшение площади поперечного сечения трубы с целью увеличения скорости жидкости, проходящей через нее, также подразумевает снижение давления.
Уравнение Бернулли также используется в авиации и в автомобилях Формулы 1. В случае авиации эффект Бернулли является источником подъемной силы самолетов.
Крылья самолета сконструированы таким образом, чтобы обеспечить больший поток воздуха в верхней части крыла.
Таким образом, в верхней части крыла скорость воздуха высока и, следовательно, давление ниже. Эта разница давлений создает вертикально направленную вверх силу (подъемную силу), которая позволяет летательному аппарату оставаться в воздухе. Аналогичный эффект наблюдается на элеронах болидов Формулы-1.
Упражнение решено
Поток воды течет со скоростью 5,18 м / с по трубе с поперечным сечением 4,2 см 2 . Вода спускается с высоты 9,66 м на более низкий уровень с нулевой высотой, при этом площадь поперечного сечения трубы увеличивается до 7,6 см 2 .
а) Рассчитайте скорость потока воды на нижнем уровне.
б) Определите давление на нижнем уровне, зная, что давление на верхнем уровне составляет 152000 Па.
Решение
а) Учитывая, что поток должен быть сохранен, верно, что:
Q верхний уровень = Q нижний уровень
v 1 . S 1 = v 2 . S 2
5,18 м / с. 4,2 см 2 = v 2 . 7,6 см ^ 2
Решая, получается, что:
v 2 = 2,86 м / с
б) Применяя теорему Бернулли между двумя уровнями и принимая во внимание, что плотность воды составляет 1000 кг / м 3 , получаем, что:
v 1 2 ∙ ƿ / 2 + P 1 + ƿ ∙ g ∙ z 1 = v 2 2 ∙ ƿ / 2 + P 2 + ƿ ∙ g ∙ z 2
(1/2). 1000 кг / м 3 . (5,18 м / с) 2 + 152000 + 1000 кг / м 3 . 10 м / с 2 . 9,66 м =
= (1/2). 1000 кг / м 3 . (2,86 м / с) 2 + P 2 + 1000 кг / м 3 . 10 м / с 2 . 0 мес.
Решая для P 2, получаем:
P 2 = 257926,4 Па
Ссылки
- Принцип Бернулли. (Й). В Википедии. Получено 12 мая 2018 г. с сайта es.wikipedia.org.
- Принцип Бернулли. (Й). В Википедии. Получено 12 мая 2018 г. с сайта en.wikipedia.org.
- Бэтчелор, GK (1967). Введение в динамику жидкости. Издательство Кембриджского университета.
- Лэмб, Х. (1993). Гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета.
- Мотт, Роберт (1996). Прикладная механика жидкости (4-е изд.). Мексика: Pearson Education.