Теорема Байеса - это процедура, которая позволяет нам выразить условную вероятность случайного события A для данного B в терминах распределения вероятностей событий A и B, поскольку распределение вероятностей только A.
Эта теорема очень полезна, так как благодаря ей мы можем связать вероятность того, что событие A произойдет, зная, что произошло B, с вероятностью того, что произойдет обратное, то есть, что B произойдет при данном A.
Теорема Байеса была серебряным предложением преподобного Томаса Байеса, английского теолога 18 века, который также был математиком. Он был автором нескольких работ по теологии, но в настоящее время он известен несколькими математическими трактатами, среди которых вышеупомянутая теорема Байеса выделяется как главный результат.
Байес рассмотрел эту теорему в статье, озаглавленной «Очерк решения проблемы в Доктрине вероятностей», опубликованной в 1763 году, и по которой было разработано большое количество. учеба с приложениями в различных областях знаний.
объяснение
Во-первых, для лучшего понимания этой теоремы необходимы некоторые основные понятия теории вероятностей, особенно теорема умножения для условной вероятности, в которой говорится, что
Для E и A произвольных событий выборочного пространства S.
И определение разделов, которое говорит нам, что если у нас есть события A 1 , A 2 , …, A n выборочного пространства S, они образуют раздел S, если A i являются взаимоисключающими и их объединением является S.
Учитывая это, пусть B будет другим событием. Итак, мы можем рассматривать B как
Где A i пересекается с B, являются взаимоисключающими событиями.
И, как следствие,
Затем, применяя теорему умножения
С другой стороны, условная вероятность Ai при заданном B определяется как
Подставляя соответствующим образом, мы получаем это для любого i
Приложения теоремы Байеса
Благодаря этому результату исследовательским группам и различным корпорациям удалось улучшить системы, основанные на знаниях.
Например, при изучении болезней теорема Байеса может помочь определить вероятность того, что заболевание будет обнаружено в группе людей с заданной характеристикой, принимая в качестве данных глобальные показатели заболеваемости и преобладание указанных характеристик в как здоровые, так и больные люди.
С другой стороны, в мире высоких технологий это повлияло на крупные компании, которые благодаря этому результату разработали программное обеспечение, основанное на знаниях.
В качестве повседневного примера у нас есть помощник Microsoft Office. Теорема Байеса помогает программному обеспечению оценивать проблемы, которые представляет пользователь, и определять, какой совет ему дать, и, таким образом, иметь возможность предложить лучший сервис в соответствии с привычками пользователя.
Примечательно, что до недавнего времени эта формула игнорировалась, главным образом потому, что, когда этот результат был разработан 200 лет назад, они не имели практического применения. Однако в наше время, благодаря огромному техническому прогрессу, ученые нашли способы применить этот результат на практике.
Решенные упражнения
Упражнение 1
У компании сотовой связи есть две машины A и B. 54% производимых сотовых телефонов производится машиной A, а остальные - машиной B. Не все произведенные сотовые телефоны находятся в хорошем состоянии.
Доля дефектных сотовых телефонов производства A составляет 0,2, а производителя B - 0,5. Какова вероятность того, что сотовый телефон этого завода неисправен? Какова вероятность того, что, зная, что сотовый телефон неисправен, он поступит из машины А?
Решение
Здесь у вас есть эксперимент, который состоит из двух частей; в первой части происходят события:
A: ячейка, созданная машиной A.
B: ячейка, созданная машиной B.
Поскольку машина A производит 54% сотовых телефонов, а остальная часть производится машиной B, из этого следует, что машина B производит 46% сотовых телефонов. Приведены вероятности этих событий, а именно:
Р (А) = 0,54.
Р (В) = 0,46.
События второй части эксперимента:
D: неисправный сотовый телефон.
E: исправный сотовый телефон.
Как указано в заявлении, вероятности этих событий зависят от результата, полученного в первой части:
P (DA) = 0,2.
P (DB) = 0,5.
Используя эти значения, также можно определить вероятности дополнений этих событий, то есть:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0,2
= 0,8
и
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Теперь событие D можно записать так:
Использование теоремы умножения для результатов с условной вероятностью:
После чего дан ответ на первый вопрос.
Теперь нам нужно только вычислить P (AD), для которого применяется теорема Байеса:
Благодаря теореме Байеса можно утверждать, что вероятность того, что сотовый телефон был создан машиной А, зная, что сотовый телефон неисправен, составляет 0,319.
Упражнение 2.
Три коробки содержат черные и белые шары. Состав каждого из них следующий: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
Один из ящиков выбирается случайным образом, и случайным образом вытягивается шар, который оказывается белым. Какой ящик был выбран с наибольшей вероятностью?
Решение
Используя U1, U2 и U3, мы также представим выбранный бокс.
Эти события составляют разбиение S, и проверено, что P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, поскольку выбор коробки является случайным.
Если B = {выпавший шар белый}, у нас будет P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.
Что мы хотим получить, так это вероятность того, что мяч был вынут из коробки Ui, зная, что указанный мяч был белым, то есть P (Ui -B), и посмотреть, какое из трех значений было наибольшим, о каком коробка была скорее всего добычей битка.
Применяя теорему Байеса к первому из ящиков:
А для двух других:
P (U2-B) = 2/6 и P (U3-B) = 1/6.
Тогда первый из ящиков - это тот, который с наибольшей вероятностью будет выбран для извлечения битка.
Ссылки
- Кай Лай Чунг. Элементарная теория вероятностей со случайными процессами. Springer-Verlag New York Inc
- Кеннет Х. Розен, Дискретная математика и ее приложения. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Пол Л. Мейер. Вероятность и статистические приложения. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Сеймур Липшуц Ph.D. 2000 Решенные задачи дискретной математики. МакГроу-Хилл.
- Сеймур Липшуц Ph.D. Теория и проблемы теории вероятностей. МакГроу-Хилл.