ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ЭЛЕМЕНТЫ, ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Теория множеств - это раздел математической логики, который отвечает за изучение отношений между сущностями, называемыми множествами. Наборы характеризуются тем, что они являются коллекциями однотипных предметов. Указанные объекты являются элементами набора и могут быть: числами, буквами, геометрическими фигурами, словами, обозначающими объекты, самими объектами и другими.

В конце XIX века Георг Кантор предложил теорию множеств. В то время как другие известные математики 20-го века сделали свою формализацию: Готлоб Фреге, Эрнст Цермело, Бертран Рассел, Адольф Френкель и другие.

Рис. 1. Диаграмма Венна множеств A, B и их пересечение A⋂ B. (собственная разработка).

Диаграммы Венна - это графический способ представления множества, и он состоит из замкнутой плоской фигуры, внутри которой находятся элементы множества.

Например, на рисунке 1 показаны два набора A и B, которые имеют общие элементы, элементы, общие для A и B. Они образуют новый набор, называемый набором пересечений A и B, который записывается в форме символическое значение:

А ∩ Б

характеристики

Набор - это примитивное понятие, как в геометрии понятие точки, линии или плоскости. Нет лучшего способа выразить концепцию, чем указать на примеры:

Набор E образован цветами флага Испании. Такой способ выражения набора называется пониманием. Тот же набор E, записанный расширением:

E = {красный, желтый}

В этом случае красный и желтый - элементы множества E. Следует отметить, что элементы указаны в фигурных скобках и не повторяются. В случае испанского флага есть три цветные полосы (красная, желтая, красная), две из которых повторяются, но элементы не повторяются, когда выражается целое.

Предположим, что множество V состоит из первых трех гласных букв:

V = {a, e, i}

Набор мощности V, обозначаемый P (V), - это набор всех наборов, которые могут быть сформированы с элементами V:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

Виды наборов

Конечный набор

Это множество, элементы которого счетны. Примерами конечных наборов являются буквы испанского алфавита, гласные испанского языка, планеты Солнечной системы и другие. Количество элементов в конечном наборе называется его мощностью.

Бесконечный набор

Под бесконечным множеством понимается все, что количество его элементов неисчислимо, так как каким бы большим ни было количество его элементов, всегда можно найти больше элементов.

Примером бесконечного множества является множество натуральных чисел N, которое в развернутой форме выражается следующим образом:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Ясно, что это бесконечное множество, так как независимо от того, насколько большим может быть натуральное число, всегда можно найти следующее по величине в бесконечном процессе. Ясно, что мощность бесконечного множества равна ∞.

Пустой набор

Это набор, не содержащий никаких элементов. Пустое множество V обозначается символом Ø или парой ключей без элементов внутри:

V = {} = Ø.

Пустой набор уникален, поэтому выражение «пустой набор» должно быть неправильным, правильная форма - сказать «пустой набор».

Среди свойств пустого множества мы имеем то, что это подмножество любого множества:

Ø ⊂ A

Кроме того, если набор является подмножеством пустого набора, то обязательно указанный набор будет вакуумом:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

Унитарный набор

Набор единиц - это любой набор, содержащий один элемент. Например, множество естественных спутников Земли представляет собой единое множество, единственным элементом которого является Луна. Множество B целых чисел меньше 2 и больше нуля имеет только элемент 1, поэтому это единичный набор.

Бинарный набор

Набор является двоичным, если он состоит только из двух элементов. Например, множество X, такое, что x является вещественным решением x ^ 2 = 2. Этот набор по расширению записывается так:

X = {-√2, + √2}

Универсальный набор

Универсальный набор - это набор, который содержит другие наборы того же типа или характера. Например, универсальный набор натуральных чисел - это набор действительных чисел. Но действительные числа - это также универсальный набор целых чисел и рациональных чисел.

Основные пункты

- Отношения между наборами

В сборках между ними и их элементами могут быть установлены различные типы отношений. Если два набора A и B имеют точно такие же элементы между собой, устанавливается отношение равенства, обозначаемое следующим образом:

А = В

Если все элементы множества A принадлежат множеству B, но не все элементы B принадлежат A, то между этими множествами существует отношение включения, которое обозначается следующим образом:

A ⊂ B, но B ⊄ A

Вышеприведенное выражение гласит: A - это подмножество B, но B не является подмножеством A.

Чтобы указать, что некоторый элемент или элементы принадлежат набору, используется символ принадлежности ∈, например, чтобы сказать, что элемент или элементы x принадлежат набору A, символически записывается следующим образом:

x ∈ A

Если элемент не принадлежит множеству A, это отношение записывается так:

и ∉ A

Отношения членства существуют между элементами набора и набора, за единственным исключением набора мощности, причем набор мощности является совокупностью или набором всех возможных наборов, которые могут быть сформированы с элементами указанного набора.

Предположим, что V = {a, e, i}, его набор степеней равен P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i} , {a, e, i}}, в этом случае множество V становится элементом множества P (V) и может быть записано:

V ∈ P (V)

- Свойства включения

Первое свойство включения устанавливает, что каждый набор содержится в себе, или, другими словами, что он является подмножеством самого себя:

A ⊂ A

Другое свойство включения - транзитивность: если A является подмножеством B, а B, в свою очередь, является подмножеством C, то A является подмножеством C. В символической форме отношение транзитивности записывается следующим образом:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

Ниже представлена ​​диаграмма Венна, соответствующая транзитивности включения:

Рис. 2. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- Операции между наборами

Пересечение

Пересечение - это операция между двумя наборами, в результате которой возникает новый набор, принадлежащий тому же универсальному набору, что и первые два. В этом смысле это закрытая операция.

Условно операция пересечения формулируется так:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Пример следующий: набор A букв слова «элементы» и набор B букв слова «повторяется», пересечение между A и B записывается так:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. Универсальное множество U букв A, B, а также A⋂B - это набор букв испанского алфавита.

союз

Объединение двух наборов - это набор, образованный элементами, общими для двух наборов, и необщими элементами двух наборов. Операция объединения между множествами символически выражается следующим образом:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

разница

Разностная операция множества A минус множество B обозначается AB. AB - это новый набор, образованный всеми элементами, которые находятся в A и не принадлежат B. Символически это записывается так:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Рис. 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Симметричная разница

Симметричная разница - это операция между двумя наборами, где результирующий набор состоит из элементов, не общих для этих двух наборов. Симметричная разница символически представлена ​​так:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

Примеры

Пример 1

Диаграмма Венна - это графический способ представления множеств. Например, набор C букв в наборе слов представлен так:

Пример 2

Ниже с помощью диаграмм Венна показано, что набор гласных в слове «набор» является подмножеством набора букв в слове «набор».

Пример 3

Набор Ñ букв испанского алфавита - конечный набор, этот набор по расширению записывается так:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} и его мощность 27.

Пример 4

Набор V гласных в испанском языке является подмножеством набора Ñ:

Следовательно, V ⊂ Ñ - конечное множество.

Конечное множество V в развернутом виде записывается так: V = {a, e, i, o, u} и его мощность равна 5.

Пример 5

Учитывая множества A = {2, 4, 6, 8} и B = {1, 2, 4, 7, 9}, определите AB и BA.

A - B - это элементы A, которых нет в B:

А - В = {6, 8}

B - A - это элементы B, которых нет в A:

B - A = {1, 7, 9}

Решенные упражнения

Упражнение 1

Запишите в символической форме, а также в расширенном виде множество P четных натуральных чисел меньше 10.

Решение: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

Упражнение 2.

Предположим, что набор A образован натуральными числами, которые являются делителями 210, и набор B, образованный простыми натуральными числами, меньшими 9. Определите путем расширения оба набора и установите связь между двумя наборами.

Решение: чтобы определить элементы множества A, мы должны начать с нахождения множителей натурального числа 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Тогда множество A записывается:

A = {2, 3, 5, 7}

Теперь рассмотрим множество B, состоящее из простых чисел меньше 9. 1 не является простым, потому что оно не соответствует определению простого числа: «число является простым тогда и только тогда, когда оно имеет ровно два делителя, 1 и само число». Число 2 четное, и в то же время оно простое, потому что оно соответствует определению простого числа, другие простые числа меньше 9 - это 3, 5 и 7. Итак, множество B:

B = {2, 3, 5, 7}

Следовательно, эти два набора равны: A = B.

Упражнение 3.

Определите множество, элементы x которого отличны от x.

Решение: C = {x / x ≠ x}

Поскольку каждый элемент, число или объект равен самому себе, набор C не может быть другим, кроме пустого набора:

C = Ø

Упражнение 4.

Пусть набор N натуральных чисел и Z набор целых чисел. Определите N ⋂ Z и N ∪ Z.

Решение:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z, поскольку N ⊂ Z.

Ссылки

1. Гаро, М. (2014). Математика: квадратные уравнения: как решить квадратное уравнение. Марилу Гаро.
2. Хаусслер, EF, и Пол, RS (2003). Математика для менеджмента и экономики. Pearson Education.
3. Хименес, Дж., Родригес, М., Эстрада, Р. (2005). Математика 1 сен. Порог.
4. Прециадо, Коннектикут (2005). Курс математики 3-й. Редакция Прогресо.
5. Математика 10 (2018). «Примеры конечных множеств». Получено с: matematicas10.net
6. Wikipedia. Теория множеств. Получено с: es.wikipedia.com