- Формулы и свойства
- Площадь под кривой
- Решенные упражнения
- - Упражнение 1
- Решение
- - Упражнение 2.
- Решение
- Ссылки
Сумма Римана - это название, данное приближенному вычислению определенного интеграла посредством дискретного суммирования с конечным числом членов. Распространенное приложение - это аппроксимация области функций на графике.
Немецкий математик Георг Фридрих Бернхард Риман (1826-1866) первым предложил строгое определение интеграла функции в заданном интервале. Он сообщил об этом в статье, опубликованной в 1854 году.
Рис. 1. Сумма Римана определена на функции f и на разбиении в интервале. Источник: Фанни Сапата.
Сумма Римана определена на функции y = f (x), где x принадлежит отрезку. На этом интервале производится разбиение P из n элементов:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
Это означает, что интервал делится следующим образом:
х к-1 ≤ т к ≤ х к
На рисунке 1 графически показана сумма Римана функции f в интервале на разбиении из четырех подынтервалов, серые прямоугольники.
Сумма представляет собой общую площадь прямоугольников, а результат этой суммы численно аппроксимирует площадь под кривой f между абсциссой x = x 0 и x = x 4 .
Конечно, приближение к площади под кривой значительно улучшается по мере увеличения числа n разделов. Таким образом, сумма сходится к площади под кривой, когда количество разделов n стремится к бесконечности.
Формулы и свойства
Сумма Римана функции f (x) на разбиении:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
Определяется по интервалу и определяется как:
S (P, f) = ∑ k = 1 n f (t k ) (x k - x k-1 )
Где t k - значение в интервале. В сумме Римана обычно используются равные интервалы шириной Δx = (b - a) / n, где a и b - минимальное и максимальное значения абсциссы, а n - количество делений.
В этом случае правая сумма Римана равна:
Sd (f, n) = * Δx
Рисунок 2. Правая сумма Римана. Источник: Wikimedia Commons. 09glasgow09.
В то время как левая сумма Римана выражается как:
Если (f, n) = * Δx
Рисунок 3. Левая сумма Римана. Источник: Wikimedia Commons. 09glasgow09
Наконец, центральная сумма Римана равна:
Original text
Sc (f, n) = * Δx
Рисунок 4. Промежуточная сумма Римана. Источник: Wikimedia Commons. 09glasgow09
В зависимости от того, где находится точка t k в интервале, сумма Римана может переоценивать или недооценивать точное значение площади под кривой функции y = f (x). Другими словами, прямоугольники могут либо выступать из кривой, либо быть немного ниже ее.
Площадь под кривой
Основное свойство суммы Римана, из которого проистекает ее важность, заключается в том, что если количество подразделений стремится к бесконечности, результат суммы сходится к определенному интегралу функции:
Решенные упражнения
- Упражнение 1
Вычислите значение определенного интеграла от a = -2 до b = +2 функции:
е (х) = х 2
Воспользуйтесь суммой Римана. Для этого сначала найдите сумму для n регулярных разделов интервала, а затем возьмите математический предел для случая, когда количество разделов стремится к бесконечности.
Решение
Вот следующие шаги:
-Во-первых, интервал раздела определяется как:
Δx = (b - a) / n.
-Тогда сумма Римана справа, соответствующая функции f (x), выглядит так:
-А потом аккуратно подставляем в суммировании:
-Следующим шагом является разделение сумм и принятие постоянных величин в качестве общего множителя каждой суммы. Необходимо учесть, что индекс равен i, поэтому числа и члены с n считаются постоянными:
-Каждая сумма вычисляется, так как для каждой из них есть соответствующие выражения. Например, первая из сумм дает n:
-Наконец, интеграл, который нужно вычислить, равен:
Читатель может проверить, что это точный результат, который может быть получен путем решения неопределенного интеграла и оценки пределов интегрирования по правилу Барроу.
- Упражнение 2.
Примерно определите площадь под функцией:
F (X) = (1 / √ (2π)) е (-x 2 /2)
Введите x = -1 и x = + 1, используя центральную сумму Римана с 10 разбиениями. Сравните с точным результатом и оцените разницу в процентах.
Решение
Шаг или приращение между двумя последовательными дискретными значениями:
Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2
Итак, раздел P, на котором определены прямоугольники, выглядит так:
P = {-1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1.0}
Но поскольку требуется центральная сумма, функция f (x) будет оцениваться в средних точках подынтервалов, то есть в наборе:
Т = {-0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0.9}.
(Центральная) сумма Римана выглядит так:
S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2
Поскольку функция f симметрична, можно уменьшить сумму до 5 членов, а результат умножить на два:
S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}
S = 2 * 0,2 * {0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266} = 0,683
Функция, приведенная в этом примере, есть не что иное, как хорошо известный гауссовский колокол (нормализованный, со средним значением, равным нулю, и единичным стандартным отклонением). Площадь под кривой в интервале этой функции, как известно, равна 0,6827.
Рисунок 5. Площадь под гауссовым колоколом, аппроксимированная суммой Римана. Источник: Ф. Сапата.
Это означает, что приблизительное решение, состоящее всего из 10 членов, соответствует точному решению с точностью до трех знаков после запятой. Процентная погрешность между приближенным и точным интегралом составляет 0,07%.
Ссылки
- Кастелейро, Дж. М., и Гомес-Альварес, Р. П. (2002). Интегральное исчисление (Иллюстрированный ред.). Мадрид: Редакция ESIC.
- Unican. История концепции интеграла. Получено с: repositorio.unican.es
- UIS. Суммы Римана. Получено с: matematicas.uis.edu.co
- Wikipedia. Сумма Римана. Получено с: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Интеграция Римана. Получено с: es.wikipedia.com