В типах интегралов , которые мы находим в исчислении являются неопределенными интегралами и определенные интегралы. Хотя у определенных интегралов гораздо больше приложений, чем у неопределенных интегралов, необходимо сначала научиться решать неопределенные интегралы.
Одним из наиболее привлекательных приложений определенных интегралов является вычисление объема тела вращения. Оба типа интегралов обладают одинаковыми свойствами линейности, а также методы интегрирования не зависят от типа интеграла.
Solid of Revolution
Но, несмотря на то, что они очень похожи, есть одно главное отличие; в первом типе интеграла результатом является функция (которая не является конкретной), а во втором типе результатом является число.
Основные типы интегралов
Мир интегралов очень широк, но в нем мы можем выделить два основных типа интегралов, которые имеют большое применение в повседневной жизни.
1- Неопределенные интегралы
Если F '(x) = f (x) для всех x в области определения f, мы говорим, что F (x) является первообразной, примитивом или интегралом от f (x).
С другой стороны, заметим, что (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), что означает, что интеграл функции не единственен, поскольку, задавая разные значения константе C, мы получим разные первообразные.
По этой причине F (x) + C называется неопределенным интегралом от f (x), а C называется константой интегрирования, и мы записываем ее следующим образом
Неопределенный интеграл
Как мы видим, неопределенный интеграл функции f (x) представляет собой семейство функций.
Например, если вы хотите найти неопределенный интеграл функции f (x) = 3x², вы должны сначала найти первообразную f (x).
Легко видеть, что F (x) = x³ первообразная, поскольку F '(x) = 3x². Следовательно, можно сделать вывод, что
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2- Определенные интегралы
Пусть y = f (x) - вещественная непрерывная функция на отрезке, а F (x) - первообразная от f (x). Определенный интеграл от f (x) между пределами a и b называется числом F (b) -F (a) и обозначается следующим образом
Основная теорема исчисления
Приведенная выше формула более известна как «Основная теорема исчисления». Здесь «a» называется нижним пределом, а «b» - верхним пределом. Как видите, определенный интеграл функции - это число.
В этом случае, если в интервале вычисляется определенный интеграл от f (x) = 3x², будет получено число.
Чтобы определить это число, мы выбираем F (x) = x³ как первообразную f (x) = 3x². Затем мы вычисляем F (3) -F (0), что дает нам результат 27-0 = 27. В заключение, определенный интеграл от f (x) на интервале равен 27.
Можно отметить, что если выбрано G (x) = x³ + 3, то G (x) является первообразной f (x), отличной от F (x), но это не влияет на результат, поскольку G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. По этой причине постоянная интегрирования не входит в определенные интегралы.
Одним из наиболее полезных применений этого типа интеграла является то, что он позволяет нам вычислить площадь (объем) плоской фигуры (тела вращения), установив подходящие функции и пределы интегрирования (и ось вращения).
Внутри определенных интегралов мы можем найти различные его расширения, такие как линейные интегралы, поверхностные интегралы, несобственные интегралы, множественные интегралы, среди прочего, все с очень полезными приложениями в науке и технике.
Ссылки
- Кастелейро, Дж. М. (2012). Легко ли интегрироваться? Пособие для самообучения. Мадрид: ESIC.
- Кастелейро, Дж. М., и Гомес-Альварес, Р. П. (2002). Интегральное исчисление (Иллюстрированный ред.). Мадрид: Редакция ESIC.
- Флеминг В. и Варберг Д.Е. (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
- Флеминг В. и Варберг Д.Е. (1989). Математика Precalculus: подход к решению проблем (2, иллюстрированный ред.). Мичиган: Прентис Холл.
- Кишан, Х. (2005). Интегральное исчисление. Атлантические издатели и дистрибьюторы.
- Перселл, Э.Дж., Варберг, Д., и Ригдон, С.Е. (2007). Исчисление (Девятое изд.). Прентис Холл.