Он называется взаимно простым (взаимно простым или взаимно простым), чтобы любая пара целых чисел не имела общего делителя, кроме 1.
Другими словами, два целых числа являются относительными простыми числами, если при их разложении на простые числа они не имеют общего делителя.
Например, если выбраны 4 и 25, факторизация каждого из них на простые множители составит 2² и 5² соответственно. Как видно, у них нет общих множителей, поэтому 4 и 25 являются относительными простыми числами.
С другой стороны, если выбраны 6 и 24, при выполнении их разложения на простые множители мы получим, что 6 = 2 * 3 и 24 = 2³ * 3.
Как видите, эти последние два выражения имеют по крайней мере один общий множитель, поэтому они не являются относительными простыми числами.
Родственные кузены
Следует быть осторожным с одной деталью: утверждение, что пара целых чисел является относительными простыми числами, не означает, что любое из них является простым числом.
С другой стороны, приведенное выше определение можно резюмировать следующим образом: два целых числа «a» и «b» являются относительными простыми числами тогда и только тогда, когда их наибольший общий делитель равен 1, то есть gcd ( а, б) = 1.
Из этого определения можно сделать два непосредственных вывода:
-Если «a» (или «b») - простое число, то gcd (a, b) = 1.
-Если «a» и «b» простые числа, то gcd (a, b) = 1.
То есть, если хотя бы одно из выбранных чисел является простым числом, тогда непосредственно пара чисел является относительными простыми числами.
Другие свойства
Другие результаты, которые используются для определения того, являются ли два числа относительными простыми числами:
-Если два целых числа идут подряд, они являются относительными простыми числами.
-Два натуральных числа «a» и «b» являются относительными простыми числами тогда и только тогда, когда числа «(2 ^ a) -1» и «(2 ^ b) -1» являются относительными простыми числами.
-Два целых числа «a» и «b» являются относительными простыми числами тогда и только тогда, когда при построении графика точки (a, b) на декартовой плоскости и построении линии, проходящей через начало координат (0,0) и ( а, б), он не содержит точки с целыми координатами.
Примеры
1.- Рассмотрим целые числа 5 и 12. Разложение на простые множители обоих чисел: 5 и 2² * 3 соответственно. В заключение, НОД (5,12) = 1, поэтому 5 и 12 являются относительными простыми числами.
2.- Пусть числа -4 и 6. Тогда -4 = -2² и 6 = 2 * 3, так что LCD (-4,6) = 2 ≠ 1. В заключение -4 и 6 не являются относительными простыми числами.
Если мы перейдем к построению графика линии, которая проходит через упорядоченные пары (-4,6) и (0,0), и определим уравнение указанной линии, можно проверить, что она проходит через точку (-2,3).
Снова делается вывод, что -4 и 6 не являются относительными простыми числами.
3.- Числа 7 и 44 являются относительными простыми числами, и это можно быстро заключить благодаря тому, что было сказано выше, поскольку 7 - простое число.
4.- Рассмотрим числа 345 и 346. Как два последовательных числа, проверено, что НОД (345,346) = 1, поэтому 345 и 346 являются относительными простыми числами.
5.- Если рассматривать числа 147 и 74, то это относительные простые числа, так как 147 = 3 * 7² и 74 = 2 * 37, поэтому ЖК-дисплей (147,74) = 1.
6.- Числа 4 и 9 - относительные простые числа. Чтобы продемонстрировать это, можно использовать вторую характеристику, упомянутую выше. Действительно, 2 ^ 4-1 = 16-1 = 15 и 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.
Полученные числа равны 15 и 511. Эти числа разложены на простые множители 3 * 5 и 7 * 73 соответственно, так что LCD (15,511) = 1.
Как видите, использование второй характеристики - более длительная и трудоемкая работа, чем ее непосредственная проверка.
7.- Считайте числа -22 и -27. Тогда эти числа можно переписать следующим образом: -22 = -2 * 11 и -27 = -3³. Следовательно, gcd (-22, -27) = 1, поэтому -22 и -27 - относительные простые числа.
Ссылки
- Баррантес, Х., Диас, П., Мурильо, М., и Сото, А. (1998). Введение в теорию чисел. EUNED.
- Бурдон, Польша (1843 г.). Арифметические элементы. Библиотека вдов и детей Кальехи.
- Кастаньеда, С. (2016). Базовый курс теории чисел. Северный университет.
- Гевара, MH (nd). Набор целых чисел. EUNED.
- Высший институт педагогической подготовки (Испания), JL (2004 г.). Числа, формы и объемы в окружении ребенка. Министерство образования.
- Палмер К.И. и Бибб С.Ф. (1979). Практическая математика: арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия и логарифмическая линейка (переиздание под ред.). Реверте.
- Рок, Нью-Мексико (2006). Алгебра I - это просто! Так легко. Team Rock Press.
- Смит, С.А. (2000). Алгебра. Pearson Education.
- Szecsei, D. (2006). Основы математики и предалгебры (иллюстрированный ред.). Карьера Пресса.
- Торал К. и Прециадо М. (1985). 2-й курс математики. Редакция Прогресо.
- Вагнер, Г., Кайседо, А., и Колорадо, Х. (2010). Основные принципы арифметики. ELIZCOM SAS