АССОЦИАТИВНОЕ СВОЙСТВО: СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ, ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ. - МАТЕМАТИКА - 2026

Ассоциативное свойство сложения представляет собой ассоциативный характер операции сложения в различных математических множествах. В нем три (или более) элемента упомянутых множеств связаны, называются a, b и c, так что это всегда верно:

а + (Ь + с) = (а + Ь) + с

Таким образом гарантируется, что независимо от способа группировки для выполнения операции результат будет одинаковым.

Рис. 1. Мы много раз используем ассоциативное свойство сложения при выполнении арифметических и алгебраических операций. (Рисунок: freepik. Состав: Ф. Сапата)

Но следует отметить, что ассоциативное свойство не является синонимом коммутативного свойства. То есть мы знаем, что порядок добавлений не влияет на сумму или что порядок факторов не влияет на произведение. Итак, для суммы это можно записать так: a + b = b + a.

Однако в ассоциативном свойстве он отличается, так как порядок добавляемых элементов сохраняется, а изменения - это операция, которая выполняется первой. Это означает, что добавление первого (b + c) и добавление a к этому результату не имеет значения, чем начало добавления a с by к результату добавления c.

Многие важные операции, такие как сложение, ассоциативны, но не все. Например, при вычитании действительных чисел бывает, что:

а - (б - в) ≠ (а - б) - в

Если a = 2, b = 3, c = 1, то:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

Ассоциативное свойство умножения

Как и для сложения, ассоциативное свойство умножения утверждает, что:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

В случае набора действительных чисел легко убедиться, что это всегда так. Например, используя значения a = 2, b = 3, c = 1, мы имеем:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Действительные числа выполняют ассоциативное свойство сложения и умножения. С другой стороны, в другом наборе, таком как набор векторов, сумма ассоциативна, а перекрестное произведение или векторное произведение - нет.

Приложения ассоциативного свойства умножения

Преимущество операций, в которых выполняется ассоциативность, заключается в возможности группировки наиболее удобным способом. Это значительно упрощает разрешение.

Например, предположим, что в небольшой библиотеке есть 3 полки по 5 полок в каждой. На каждой полке по 8 книг. Сколько всего книг?

Мы можем выполнить операцию так: всего книг = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 книг.

Или вот так: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 книг.

Рис. 2. Одно из применений ассоциативного свойства умножения - подсчет количества книг на каждой полке. Изображение создано Ф. Сапатой.

Примеры

-В наборах натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел выполняется ассоциативное свойство сложения и умножения.

Рисунок 3. Для вещественных чисел выполняется ассоциативное свойство сложения. Источник: Wikimedia Commons.

-Для полиномов они также применяются в этих операциях.

-В случаях операций вычитания, деления и возведения в степень ассоциативность не выполняется для действительных чисел или многочленов.

-В случае матриц свойство ассоциативности выполняется для сложения и умножения, хотя в последнем случае коммутативность не выполняется. Это означает, что для матриц A, B и C верно следующее:

(А х В) х С = А х (В х С)

Но … A x B ≠ B x A

Свойство ассоциативности в векторах

Векторы образуют другой набор, чем действительные числа или комплексные числа. Операции, определенные для набора векторов, несколько отличаются: есть сложение, вычитание и три типа произведений.

Сумма векторов обладает свойством ассоциативности, как и числа, многочлены и матрицы. Что касается скалярных произведений, скаляр на вектор и скрещивание, которые делаются между векторами, последний его не выполняет, но скалярное произведение, которое является другим видом операции между векторами, выполняет его, принимая во внимание следующее:

-Произведение скаляра и вектора дает вектор.

-И при скалярном умножении двух векторов получается скаляр.

Следовательно, учитывая векторы v , u и w, а также скаляр λ, можно записать:

- Сумма векторов: v + ( u + w ) = ( v + u) + w

-Скалярное произведение: λ ( v • u ) = (λ v ) • u

Последнее возможно благодаря тому, что v • u - скаляр, а λ v - вектор.

Тем не мение:

v × ( u × w ) ≠ ( v × u) × w

Факторизация многочленов путем группировки терминов

Это приложение очень интересно, потому что, как уже было сказано, свойство ассоциативности помогает решать определенные задачи. Сумма одночленов ассоциативна, и ее можно использовать для факторизации, когда очевидный общий множитель не появляется на первый взгляд.

Например, предположим, что вас просят разложить на множители: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Этот многочлен не имеет общего множителя, но давайте посмотрим, что произойдет, если его сгруппировать следующим образом:

В первой скобке есть общий множитель ax ² :

Во втором случае общий множитель равен 3:

упражнения

- Упражнение 1

В здании школы 4 этажа, в каждом по 12 классных комнат с 30 партами внутри. Сколько всего парт в школе?

Решение

Эта проблема решается применением ассоциативного свойства умножения, посмотрим:

Общее количество партов = 4 этажа x 12 классных комнат / этаж x 30 партов / класс = (4 x 12) x 30 партов = 48 x 30 = 1440 партов.

Или, если хотите: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 столов

- Упражнение 2.

Учитывая многочлены:

А (х) = 5x ³ + 2x ² -7x + 1

В (х) = х ⁴ + 6х ³ -5х

С (х) = -8x ² + 3x -7

Примените ассоциативное свойство сложения, чтобы найти A (x) + B (x) + C (x).

Решение

Вы можете сгруппировать первые два и добавить к результату третий:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Сразу добавляется многочлен C (x):

+ = х ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

Читатель может убедиться, что результат идентичен, если он решается с помощью варианта A (x) +.

Ссылки

1. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Прентис Холл.
2. Математика - это весело. Коммутативные, ассоциативные и распределительные законы. Получено с: mathisfun.com.
3. Математический склад. Определение ассоциативного свойства. Получено с: mathwarehouse.com.
4. Sciencing. Ассоциативное и коммутативное свойство сложения и умножения (с примерами). Получено с: sciencing.com.
5. Wikipedia. Ассоциативное свойство. Получено с: en.wikipedia.org.