- Известные продукты и примеры
- Биномиальный квадрат
- Произведение сопряженных биномов
- Произведение двух биномов с общим членом
- Полином в квадрате
- Биномиальный куб
- Куб трехчлена
- Решенные упражнения знатных продуктов
- Упражнение 1
- Решение
- Упражнение 2.
- Решение
- Ссылки
В примечательных продуктах являются алгебраическими операциями, в которых выражаются умножения многочленов, которые не должны быть решены традиционно, но и с помощью определенных правил можно найти результаты одного и те же.
Многочлены умножаются на да, поэтому возможно, что они имеют большое количество членов и переменных. Чтобы сделать процесс короче, используются известные правила продукта, которые позволяют производить умножение без необходимости переходить от одного термина к другому.
Известные продукты и примеры
Каждый известный продукт представляет собой формулу, которая получается в результате факторизации, состоящей из полиномов от нескольких членов, таких как биномы или трехчлены, называемые факторами.
Факторы являются основой мощности и имеют показатель степени. При умножении коэффициентов необходимо складывать экспоненты.
Есть несколько замечательных формул произведения, некоторые из них используются чаще, чем другие, в зависимости от полиномов, и это следующие:
Биномиальный квадрат
Это умножение бинома на себя, выраженное в степени, при котором члены складываются или вычитаются:
к. Биномиальная сумма квадратов: она равна квадрату первого члена плюс удвоенное произведение членов плюс квадрат второго члена. Это выражается следующим образом:
(а + б) 2 = (а + б) * (а + б).
На следующем рисунке вы можете увидеть, как продукт развивается в соответствии с вышеупомянутым правилом. Результат называется трехчленом полного квадрата.
Пример 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
Пример 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2 .
б. Бином вычитания в квадрате: применяется то же правило бинома суммы, только в этом случае второй член отрицательный. Его формула следующая:
(а - б) 2 = 2
(a - b) 2 = a 2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 .
Пример 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 24x + 36.
Произведение сопряженных биномов
Два бинома являются сопряженными, когда вторые члены каждого имеют разные знаки, то есть первое положительное, а второе отрицательное или наоборот. Она решается возведением каждого одночлена в квадрат и вычитанием. Его формула следующая:
(а + б) * (а - б)
На следующем рисунке показано произведение двух сопряженных биномов, где видно, что результатом является разность квадратов.
Пример 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2 )
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2 .
Произведение двух биномов с общим членом
Это один из самых сложных и редко используемых примечательных продуктов, потому что он представляет собой произведение двух биномов, имеющих общий термин. Правило гласит следующее:
- Квадрат общего термина.
- Сложите сумму не общих членов, а затем умножьте их на общий член.
- Плюс сумма умножения не распространенных терминов.
Он представлен формулой: (x + a) * (x + b) и проявляется, как показано на рисунке. В результате получается трехчлен с несовершенным квадратом.
(х + 6) * (х + 9) = х 2 + (6 + 9) * х + (6 * 9)
(х + 6) * (х + 9) = х 2 + 15x + 54.
Существует вероятность того, что второй член (другой член) будет отрицательным и его формула будет следующей: (x + a) * (x - b).
Пример 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + ( 4-2 ) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + 14x - 8.
Также может случиться так, что оба разных термина будут отрицательными. Его формула будет: (x - a) * (x - b).
Пример 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6-5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 - 33b + 30.
Полином в квадрате
В этом случае имеется более двух членов, и для его развития каждое из них возводится в квадрат и складывается вместе с удвоенным умножением одного члена на другой; его формула: (a + b + c) 2, а результат операции - квадрат трехчлена.
Пример 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Биномиальный куб
Это очень сложный продукт. Чтобы получить его, бином умножается на его квадрат следующим образом:
к. Для бинома в кубе суммы:
- Куб первого члена плюс утроенный квадрат первого члена, умноженный на второй.
- Плюс тройка первого члена, умноженная на второй квадрат.
- Плюс кубик второго члена.
(а + б) 3 = (а + б) * (а + б) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a 2 + 2ab + b 2 )
(a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(а + б) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + б 3 .
Пример 1
(а + 3) 3 = а 3 + 3 (а) 2 * (3) + 3 (а) * (3) 2 + (3) 3
(а + 3) 3 = а 3 + 3 (а) 2 * (3) + 3 (а) * (9) + 27
(а + 3) 3 = а 3 + 9 а 2 + 27а + 27.
б. Для бинома в кубе вычитания:
- Куб первого члена минус троекратный квадрат первого члена, умноженный на второй.
- Плюс тройка первого члена, умноженная на второй квадрат.
- Минус куб второго члена.
(а - б) 3 = (а - б) * (а - б) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a 2 - 2ab + b 2 )
(a - b) 3 = a 3 - 2a 2 b + ab 2 - ba 2 + 2ab 2 - b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 .
Пример 2
(б - 5) 3 = б 3 + 3 (б) 2 * (-5) + 3 (б) * (-5) 2 + (-5) 3
(б - 5) 3 = б 3 + 3 (б) 2 * (-5) + 3 (б) * (25) -125
(b - 5) 3 = b 3 - 15b 2 + 75b - 125.
Куб трехчлена
Он получается путем умножения на его квадрат. Это очень обширный замечательный продукт, потому что у вас есть 3 члена, возведенные в куб, плюс три квадрата каждого члена, умноженные на каждое из членов, плюс шесть умноженных на произведение трех членов. Видно лучше:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc.
Пример 1
Решенные упражнения знатных продуктов
Упражнение 1
Разверните следующий бином в кубе: (4x - 6) 3 .
Решение
Помня, что двучленный куб равен кубу первого члена минус три раза умноженный на квадрат первого члена, умноженный на второй; плюс тройка первого члена, умноженная на второй квадрат, минус куб второго члена.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16x 2 ) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 288x 2 + 432x - 36.
Упражнение 2.
Составьте следующий бином: (x + 3) (x + 8).
Решение
Есть бином, в котором есть общий член, то есть x, а второй член положительный. Чтобы разработать его, вам нужно только возвести в квадрат общий член плюс сумму членов, которые не являются общими (3 и 8), а затем умножить их на общий член, плюс сумму умножения членов, которые не являются общими.
(х + 3) (х + 8) = х 2 + (3 + 8) х + (3 * 8)
(х + 3) (х + 8) = х 2 + 11x + 24.
Ссылки
- Ангел, AR (2007). Элементарная алгебра. Pearson Education,.
- Артур Гудман, LH (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Pearson Education.
- Дас, С. (nd). Maths Plus 8. Великобритания: Ратна Сагар.
- Джером Э. Кауфманн, KL (2011). Элементарная и промежуточная алгебра: комбинированный подход. Флорида: Cengage Learning.
- Перес, CD (2010). Pearson Education.