ПРИНЦИП МУЛЬТИПЛИКАТИВНОСТИ: МЕТОДЫ И ПРИМЕРЫ СЧЕТА - МАТЕМАТИКА - 2024

Принцип мультипликативности - это метод, используемый для решения задач подсчета для поиска решения без необходимости перечислять его элементы. Он также известен как фундаментальный принцип комбинаторного анализа; он основан на последовательном умножении, чтобы определить, как может произойти событие.

Этот принцип гласит, что если решение (d ₁ ) может быть принято n способами, а другое решение (d ₂ ) может быть принято m способами, общее количество способов, которыми могут быть приняты решения d ₁ и d ₂ , будет равно умножить от н _* м. По принципу каждое решение принимается одно за другим: количество путей = N _{1 *} N ₂ … _* N _x способов.

Примеры

Пример 1

Паула планирует пойти в кино со своими друзьями, и чтобы выбрать одежду, которую она наденет, я разделяю 3 блузки и 2 юбки. Сколько способов одеваться Паула?

Решение

В этом случае Паула должна принять два решения:

d ₁ = Выберите одну из 3 блузок = n

d ₂ = Выберите между 2 юбками = m

Таким образом, у Паулы есть n _* m решений или разные способы одеваться.

n _* m = 3 _* 2 = 6 решений.

Принцип мультипликативности основан на технике древовидной диаграммы, которая представляет собой диаграмму, которая связывает все возможные результаты, так что каждый из них может встречаться конечное число раз.

Пример 2

Марио очень хотел пить, поэтому он пошел в булочную, чтобы купить сок. Луис заботится о нем и говорит ему, что оно бывает двух размеров: большое и маленькое; и четыре вкуса: яблоко, апельсин, лимон и виноград. Сколько способов Марио выбрать сок?

Решение

На диаграмме видно, что у Марио есть 8 различных способов выбора сока, и что, как и в принципе умножения, этот результат получается путем умножения n _* m. Единственное отличие состоит в том, что на этой диаграмме вы можете увидеть, как Марио выбирает сок.

С другой стороны, когда количество возможных исходов очень велико, практичнее использовать принцип мультипликативности.

Счетные техники

Методы подсчета - это методы, используемые для прямого подсчета и, таким образом, определения количества возможных вариантов расположения элементов данного набора. Эти техники основаны на нескольких принципах:

Принцип сложения

Этот принцип гласит, что если два события m и n не могут произойти одновременно, количество способов, которыми может произойти первое или второе событие, будет суммой m + n:

Количество форм = m + n… + x различных форм.

пример

Антонио хочет отправиться в путешествие, но не решает, в какую сторону; в Южном туристическом агентстве предлагают продвижение на поездку в Нью-Йорк или Лас-Вегас, а Восточное туристическое агентство рекомендует поехать во Францию, Италию или Испанию. Сколько различных вариантов путешествия предлагает вам Антонио?

Решение

С Южным туристическим агентством у Антонио есть 2 варианта (Нью-Йорк или Лас-Вегас), а с Восточным туристическим агентством у него есть 3 варианта (Франция, Италия или Испания). Количество различных альтернатив:

Количество альтернатив = m + n = 2 + 3 = 5 альтернатив.

Принцип перестановки

Речь идет о том, чтобы упорядочить все или некоторые элементы, составляющие набор, чтобы облегчить подсчет всех возможных комбинаций, которые могут быть выполнены с элементами.

Количество перестановок n различных элементов, взятых одновременно, представлено как:

_п П _п = п!

пример

Четверо друзей хотят сфотографироваться и хотят знать, сколько разных способов их устроить.

Решение

Вы хотите знать набор всех возможных способов, которыми 4 человека могут быть расположены, чтобы сделать снимок. Таким образом, вам необходимо:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 разных формы.

Если количество перестановок n доступных элементов берется частями набора, состоящего из r элементов, оно представляется как:

_п П _{р =} п! ÷ (п - г)!

пример

В классе 10 мест. Если класс посещают 4 ученика, сколькими способами ученики могут заполнить вакансии?

Решение

У нас есть, что общее количество стульев 10, из них будет использовано только 4. Данная формула применяется для определения количества перестановок:

_п П _р = п! ÷ (п - г)!

₁₀ п ₄ = 10! ÷ (10-4)!

₁₀ п ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 способов заполнения позиций.

Бывают случаи, когда некоторые из доступных элементов набора повторяются (они совпадают). Для расчета количества массивов, принимающих все элементы одновременно, используется следующая формула:

_п П _р = п! ÷ п ₁ ! _* п ₂ !… п _р !

пример

Сколько разных четырехбуквенных слов можно образовать из слова «волк»?

Решение

В данном случае есть 4 элемента (буквы), два из которых абсолютно одинаковые. Применяя данную формулу, известно, сколько получается разных слов:

_п П _р = п! ÷ п ₁ ! _* п ₂ !… п _р !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 разных слов.

Принцип комбинации

Речь идет о расположении всех или некоторых элементов, составляющих набор, без определенного порядка. Например, если у вас есть расположение XYZ, оно будет идентично расположению ZXY, YZX, ZYX, среди прочего; это потому, что, несмотря на то, что они находятся в разном порядке, элементы каждого расположения одинаковы.

Когда некоторые элементы (r) берутся из набора (n), принцип комбинирования задается следующей формулой:

_п С _{г =} п! ÷ (п - г)! Р!

пример

В магазине продают 5 разных видов шоколада. Сколько разных способов выбрать 4 конфеты?

Решение

В этом случае нужно выбрать 4 вида конфет из 5 видов, которые продаются в магазине. Порядок их выбора не имеет значения, кроме того, тип шоколада можно выбрать более двух раз. Применяя формулу, вы должны:

_п С _г = п! ÷ (п - г)! Р!

₅ С ₄ = 5! ÷ (5-4)! 4!

₅ С ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ С ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 различных способов выбрать 4 конфеты.

Когда все элементы (r) из набора (n) взяты, принцип комбинирования задается следующей формулой:

_п С _{п =} п!

Решенные упражнения

Упражнение 1

Есть бейсбольная команда из 14 человек. Какими способами можно распределить 5 позиций за игру?

Решение

Набор состоит из 14 элементов, и вам нужно назначить 5 конкретных позиций; то есть порядок имеет значение. Формула перестановки применяется там, где n доступных элементов взяты частями набора, образованного r.

_п П _{р =} п! ÷ (п - г)!

Где n = 14 и r = 5. Он подставляется в формулу:

₁₄ п ₅ = 14! ÷ (14-5)!

₁₄ п ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 способов назначить 9 игровых позиций.

Упражнение 2.

Если семья из 9 человек отправляется в путешествие и покупает билеты с последовательными местами, сколько разных способов они могут сесть?

Решение

Это порядка 9 элементов, которые займут 9 посадочных мест подряд.

П ₉ = 9!

П ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 различных способов сидения.

Ссылки

1. Хопкинс, Б. (2009). Ресурсы для преподавания дискретной математики: школьные проекты, модули истории и статьи.
2. Джонсонбо, Р. (2005). Дискретная математика. Pearson Education,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Решение задач конечной и дискретной математики. Редакторы Ассоциации исследований и образования.
4. Падро, ФК (2001). Дискретная математика. Politèc. Каталонии.
5. Штайнер, Э. (2005). Математика для прикладных наук. Реверте.