ПРИНЦИП АРХИМЕДА: ФОРМУЛА, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, ПРИЛОЖЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2025

Принцип Архимеда гласит, что тело, полностью или частично погруженное в воду, получает вертикальную восходящую силу, называемую толчком, которая эквивалентна весу объема жидкости, вытесняемой телом.

Некоторые объекты плавают в воде, некоторые тонут, а некоторые частично погружаются в воду. Чтобы утопить пляжный мяч, необходимо приложить усилие, потому что сразу же ощущается сила, которая пытается вернуть его на поверхность. Вместо этого металлический шар быстро тонет.

Рисунок 1. Плавающие воздушные шары: принцип Архимеда в действии. Источник: Pixabay.

С другой стороны, погруженные в воду объекты кажутся более легкими, поэтому жидкость оказывает сопротивление весу. Но он не всегда может полностью компенсировать гравитацию. И хотя это более очевидно для воды, газы также способны создавать эту силу для объектов, погруженных в них.

История

Архимед Сиракузский (287–212 до н. Э.), Должно быть, открыл этот принцип, будучи одним из величайших ученых в истории. Говорят, король Сиракуз Иеро II приказал ювелиру изготовить для него новую корону, за что дал ему определенное количество золота.

Архимед

Когда король получил новую корону, она была правильного веса, но он подозревал, что ювелир обманул его, добавив серебро вместо золота. Как он мог доказать это, не разрушив корону?

Иеро призвал Архимеда, чья репутация ученого была хорошо известна, помочь ему решить проблему. Легенда гласит, что Архимед погрузился в ванну, когда нашел ответ, и, каковы были его эмоции, он бежал голым по улицам Сиракуз в поисках царя, крича «Эврика», что означает «Я нашел его».

Что нашел Архимед? Ну а при принятии ванны уровень воды в ванне поднялся, когда он вошел, а это значит, что погруженное тело вытесняет определенный объем жидкости.

И если он погрузил корону в воду, это также должно было вытеснить определенный объем воды, если корона была сделана из золота, и другой, если она была сделана из сплава с серебром.

формула

Подъемная сила, на которую ссылается принцип Архимеда, известна как гидростатическая тяга или выталкивающая сила и, как мы уже сказали, эквивалентна весу объема жидкости, вытесняемой телом при погружении.

Смещенный объем равен объему погруженного объекта полностью или частично. Поскольку вес чего-либо равен мг, а масса жидкости равна плотности x объему, обозначая величину тяги как B, математически мы имеем:

B = m _{жидкости} xg = плотность жидкости x погруженный объем x сила тяжести

B = ρ _{жидкость} x V _{погруженная} xg

Где греческая буква ρ («ро») обозначает плотность.

Видимый вес

Вес предметов рассчитывается с использованием знакомого выражения mg, однако при погружении в воду предметы кажутся легче.

Кажущийся вес объекта - это то, что он имеет, когда он погружен в воду или другую жидкость и зная это, можно получить объем неправильного объекта, такого как корона короля Гиеро, как будет показано ниже.

Для этого его полностью погружают в воду и прикрепляют к веревке, прикрепленной к динамометру - инструменту, снабженному пружиной, используемой для измерения сил. Чем больше вес объекта, тем больше удлинение пружины, которое измеряется на шкале, предусмотренной в устройстве.

Рисунок 2. Кажущийся вес затопленного объекта. Источник: подготовил Ф. Сапата.

Применение второго закона Ньютона, зная, что объект находится в состоянии покоя:

ΣF _y = B + T - W = 0

Кажущийся вес W _a равен натяжению струны T:

Поскольку тяга компенсирует вес, поскольку жидкая часть находится в состоянии покоя, тогда:

Из этого выражения следует, что тяга возникает из-за разницы давлений между верхней поверхностью цилиндра и нижней поверхностью. Поскольку W = mg = ρ жидкости. В. г, он должен:

Это именно то выражение для тяги, которое упоминалось в предыдущем разделе.

Приложения

Принцип Архимеда проявляется во многих практических приложениях, среди которых можно назвать:

- Аэростатический шар. Который из-за своей средней плотности меньше, чем у окружающего воздуха, плавает в нем за счет силы тяги.

- Корабли. Корпус кораблей тяжелее воды. Но если рассматривать весь корпус плюс воздух внутри него, соотношение между общей массой и объемом меньше, чем у воды, и это причина, по которой корабли плавают.

- Спасательные жилеты. Будучи изготовлены из легких и пористых материалов, они могут плавать, потому что соотношение массы к объему ниже, чем у воды.

- Поплавок для закрытия крана заполнения бака для воды. Это наполненная воздухом сфера большого объема, которая плавает над водой, заставляя толкающую силу, умноженную на эффект рычага, закрывать крышку крана заливки резервуара для воды, когда она достигает уровня. общее количество.

Примеры

Пример 1

Легенда гласит, что король Иеро дал ювелиру определенное количество золота для изготовления короны, но недоверчивый монарх подумал, что ювелир, возможно, обманул, поместив в корону металл менее ценный, чем золото. Но как он мог знать, не разрушив корону?

Царь доверил задачу Архимеду, и в поисках решения он открыл свой знаменитый принцип.

Предположим, что корона весит 2,10 кгс в воздухе и 1,95 кгс при полном погружении в воду. В этом случае обман есть или нет?

Рис. 5. Диаграмма свободного тела короны царя Герона. Источник: подготовил Ф. Сапата.

Схема сил показана на рисунке выше. Этими силами являются: вес P короны, усилие E и натяжение T веревки, свисающей с весов.

Известно Р = 2,10 кгс и Т = 1,95 кгс, осталось определить величину тяги Е :

С другой стороны, согласно принципу Архимеда, тяга E эквивалентна весу воды, вытесненной из пространства, занимаемого короной, то есть плотности воды, умноженной на объем короны из-за ускорения свободного падения:

Откуда можно рассчитать объем короны:

Плотность короны - это отношение массы короны вне воды к ее объему:

Плотность чистого золота может быть определена аналогичным способом, и результат составит 19300 кг / м ^ 3.

Сравнивая две плотности, видно, что корона не из чистого золота!

Пример 2

На основе данных и результата примера 1 можно определить, сколько золота было украдено ювелиром в случае, если эта часть золота была заменена серебром, имеющим плотность 10 500 кг / м ^ 3.

Мы будем называть плотность короны ρc, ρo плотностью золота, а ρ _p плотностью серебра.

Общая масса короны составляет:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅Vp

Общий объем короны - это объем серебра плюс объем золота:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

Подставляем в уравнение для массы:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ _p ) Vo = (ρc - ρ _p ) V

То есть объем золота Vo, который содержит корону общего объема V, равен:

Vo = V⋅ (ρc - ρ _p ) / (ρo - ρ _p ) =…

… = 0,00015 м ^ 3 (14000 - 10500) / (19300 - 10500) = 0,00005966 м ^ 3

Чтобы найти вес в золоте, который содержится в короне, мы умножаем Vo на плотность золота:

Мо = 19300 * 0,00005966 = 1,1514 кг

Поскольку масса короны составляет 2,10 кг, мы знаем, что 0,94858 кг золота было украдено ювелиром и заменено серебром.

Решенные упражнения

Упражнение 1

Огромный гелиевый шар способен удерживать человека в равновесии (не поднимаясь и не опускаясь).

Предположим, что вес человека с корзиной, веревками и воздушным шаром составляет 70 кг. Какой объем гелия требуется для этого? Насколько большим должен быть воздушный шар?

Решение

Мы предположим, что тяга создается в основном объемом гелия, а тяга остальных компонентов очень мала по сравнению с гелием, который занимает гораздо больший объем.

В этом случае потребуется объем гелия, способный обеспечить тягу 70 кг + вес гелия.

Рис. 6. Схема свободного тела баллона, заполненного гелием. Источник: подготовил Ф. Сапата.

Тяга - это произведение объема гелия на плотность гелия и ускорение свободного падения. Этот толчок должен компенсировать вес гелия плюс вес всего остального.

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

из чего делается вывод, что V = M / (Da - Dh)

V = 70 кг / (1,25 - 0,18) кг / м ^ 3 = 65,4 м ^ 3

То есть для подъема требуется 65,4 м3 гелия при атмосферном давлении.

Если мы предположим сферический глобус, мы можем найти его радиус из соотношения между объемом и радиусом сферы:

V = (4/3) π⋅R ^ 3

Отсюда R = 2,49 м. Другими словами, потребуется баллон диаметром 5 м, наполненный гелием.

Упражнение 2.

В нем плавают материалы с меньшей плотностью, чем у воды. Предположим, у вас есть полистирол (белая пробка), дерево и кубики льда. Их плотности в кг на кубический метр соответственно: 20, 450 и 915.

Найдите, какая часть общего объема находится вне воды и как высоко она стоит над поверхностью воды, принимая за плотность последней 1000 килограммов на кубический метр.

Решение

Плавучесть возникает, когда вес тела равен тяге воды:

E = M⋅g

Рис. 7. Схема свободного тела частично затопленного объекта. Источник: подготовил Ф. Сапата.

Вес - это плотность тела Dc, умноженная на его объем V и ускорение свободного падения g.

Тяга - это вес жидкости, вытесняемой в соответствии с принципом Архимеда, и вычисляется путем умножения плотности воды D на погруженный объем V 'и на ускорение свободного падения.

То есть:

D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g

Это означает, что доля погруженного объема равна отношению плотности тела к плотности воды.

То есть выдающаяся объемная доля (V '' / V) равна

Если h - высота свеса, а L - сторона куба, то объемную долю можно записать как

Итак, результаты для заказанных материалов:

Полистирол (белая пробка):

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) = 98% вне воды

Дерево:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (450/1000) = 55% вне воды

Лед:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (915/1000) = 8,5% вне воды

Ссылки

1. Бауэр, В. 2011. Физика для инженерии и науки. Том 1. Мак Гроу Хилл. 417-455.
2. Cengel Y, Cimbala J. 2011. Механика жидкости. Основы и приложения. Первое издание. Макгроу Хилл.
3. Фигероа, Д. (2005). Серия: Физика для науки и техники. Том 4. Жидкости и термодинамика. Отредактировал Дуглас Фигероа (USB). 1 - 42.
4. Джайлз, Р. 2010. Механика жидкостей и гидравлики. Макгроу Хилл.
5. Рекс, А. 2011. Основы физики. Пирсон. 239-263.
6. Типпенс, П. 2011. Физика: концепции и приложения. 7-е издание. Макгроу Хилл.